使得
当 n N1 时
xn xn1 2，于是 yn yn1
xn xn1 2 yn yn1 ,
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 (xN11 xN1 ) (xN12 xN11) L (xn xn1) xN1 2( yN11 yN1 ) 2( yN12 yN11) L 2( yn yn1) xN1 2( yn yN1 ) yn ( yn 2 yN1 xN1 ),
n
nk +1
定理2.3.3(Stolz) 设 yn 是严格单调增加的正
无穷大量，且
lim xn xn1 a， (a可以是有限数或 ) n yn yn1
则 lim xn a。 y n
n
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：a. 当
lim xn xn1 时，存在 n yn yn1
N1
N
时，
0
yn 0 成立，则 zn xn yn 是无穷大量。
推论 设
xn
是无穷大量，lim n
yn
b
0，则
xn yn
与
xn yn
都是无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
待定型极限：0， ， 0 • ， 等 0
例2.5.5 试求极限 lim 1k 2k L nk ，k 1, 2,3,K 。
lim zn zn1 lim xn xn1 a 0, n yn yn1 n yn yn1
问题归结为情形b，从而有
lim xn lim zn a lim zn zn1 a a.
y y n
n
n
n
n yn yn1
d. 当 lim xn xn1 , 请读者自己完成证明。 n yn yn1
制作人：杨寿渊
证明：G 0, 考察不等式 qn G,
第一章、函数与极限
其解集为n ¢
n
ln ln
G q
,
取
N
ln
ln
G q
，则当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnN
时
因此 lim qn 。 n
qn G,
例2.3.2
试证
n2 1
n
5
是正无穷大量。
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
证明：当 n 5 时，n2 1 n2 / 2 n ， n 5 2n 4
G 0，取 N max5, 4G，则当 n N 时
n2 1 n G， n5 4 因此 lim n2 1 。 n n 5
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
定理2.3.1 设 xn 0，则数列 xn 是无穷大量的
充分必要条件是
1
xn
是无穷小量。
定理2.3.2 设
xn
是无穷大量，若当
n
第一章、函数与极限
例2.3.5
设
lim
n
an
a，试求极限
lim
n
a1
2a2
L n2
nan 。
解：利用Stolz定理，得
lim
n
a1
2a2
L n2
nan
lim
n
n2
nan (n 1)2
lim nan n 2n 1
lim
n
n lim 2n 1 n
an
a 2
制作人：杨寿渊
由于yn是无穷大量，故存在 N2 N1，使当 n N2 时
制作人：杨寿渊
xn yn ( yn 2 yN1 xN1 ) yn ,
第一章、函数与极限
现在对于任意正实数 M 取 N3 N2 使得当 n N3 时 xn xn1 M , yn yn1
则当 n N3 时
xn xN3 xn xN3 yn yN3 yn yN3
第一章、函数与极限
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是正无穷大量，记为
lim
n
xn
+ 。
如果对任意给定的 G 0，总可以找到
的正整数 N，使得当 n N 时，xn G 成立，
则称数列是负无穷大量，记为
lim
n
xn
。
例2.3.1 设 q 1，试证 qn 是无穷大量。
N1
使得
当 n N1 时
xn xn1 ，于是
yn yn1
制作人：杨寿渊
xn xn1 yn yn1 ,
于是
第一章、函数与极限
n N1 1, N1 2,K
xn xN1 xn xn1 xn1 xn2 L xN11 xN1
yn yn1 yn1 yn2 L yN11 yN1 yn yN1
不等式两边同除以 yn 得
xn xN1 yn yn
1
yN1 yn
,
对于固定的 N1，又可以取到 N N1，使得当 n N时，
制作人：杨寿渊
xN1 ，从而 xn xN1 2。
yn
yn
yn
第一章、函数与极限
c. 当
lim xn xn1 a 0 时，令 n yn yn1
zn xn ayn，于是
yN3 M yn yN3 yN3 yn yN3
M
(n ),
从而存在 N4 N3，使当 n N4 时 由 M 的任意性， lim xn 。
y n n
xn M ， yn 2
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
b. 当
lim xn xn1 a 0 时， 0，存在
n yn yn1
xN3 xn xn1 xn1 xn2 L xN31 xN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
yN3 M yn yn1 M yn1 yn2 L M yN31 yN3 yN3 yn yn1 yn1 yn2 L yN31 yN3
制作人：杨寿渊
第一章、函数与极限
例2.3.4
试求极限
lim 1k
n
2k L nk +1
nk ，k 1, 2,3,K 。
解：利用Stolz定理，得
lim 1k 2k L nk lim
nk
n
nk +1
n nk +1 (n 1)k 1
nk
1
lim
n
(k
1)nk
Cn2nk1
L
. k 1
制作人：杨寿渊