1mm
6．如图 1-5 所示，光纤芯折射率为 n1 、包层的折射率为 n 2 ,光纤所在的介质折射率为 n0 ， 求光纤的数值孔径（即 n0 sin I1 ,其中 I 1 为光在光纤内能一全反射方式传播时在入射端面 的最大入射角） 。 【解】 n0 sin I 1 = n1 sin I 2
n0
I 2 = 90 ° − I m
5
的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？ 【提示】 解题时应注意近轴光线和远轴光线在计算中各自使用的公式， 另外应明确光线行进 过程中所有的折射面都有贡献。 【解】 （1）根据近轴光的光线光路计算公式可求得高斯像位置
1 1 n′ − n ′ 将 l1 = −∞ , n1 = 1.5 , n1 = 1 , r1 = 100 代入公式 − = 得： l′ l r
为虚象
11．一折射面 r = 150mm ， n = 1, n ′ = 1.5 ，当物距分别为 − ∞ ， − 1000mm ， − 100mm ， 0 ，
100mm ， 150mm 和 200mm 时，垂轴放大率各为多少？
【提示】 【解】将已知条件折射面半径 r = 150mm ，折射 率 n = 1 和 n ′ = 1.5 ，及对应的物距代入公式
I1 A I9 I 2 I'1 (I11)
。
∵ n1 sin I 1 = n 2 sin I 2
sin I 2 =
I 2 = 30
°
sin 60 3
°
= 0.5
I8 C
I7 I6 I5
I3
B I4
∴在 A 点处光线以 30 的折射角进入玻璃球， 同时又以 60 的反射角返回原介质。 根据 球的对称性，知折射光线将到达图中 B 点处，并发生折射反射现象。
A n n' B -l r A' B'
1 1 1 1 ⎧ n ′( − ) = n( − ) ⎪ ⎪ r l' r l ，可得： ⎨ nl ′ nr = ⎪β = ⎪ n ′l n ′l − n(l − r ) ⎩
（1） l = −∞ ,
β =0 β = −0.429 β = 1 .5
（2） l = −1000mm , （3） l = −100mm ,
物像位置如图 12（a）所示 从左侧观察时
r1=200mm
r2=-200mm
A'
A
B(B')
方法 1：将实际位置图 12（b-1）等价为 12（b-2） ，即可采用上述方法求解，但求解后 还要将结果转换成实际情况。
r1=200mm
r2=-200mm
r1=200mm
r2=-200mm
A'
A
B(B')
B(B')
l3 r1=30mm A'2（A3） O A'3 -l'2 l' 1 l2 r2=-30mm
A2 ，经右侧反射球面再次成像于 A' 2 ，再经过
前表面折射，最后成像于 A' 3 。 由 （1） 知 l 2 = 30mm ， 代入公式
A'1（A2）
1 1 2 得： + = l′ l r
l' 3
1 1 2 + =− ′ 30 30 l
B''
70
60
4．一厚度为 200mm 的平行平板玻璃（设 n=1.5） ，下面放一直径为 1mm 的金属片。若在玻 璃板上盖一圆形的纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片的最 小直径应为多少？ 【提示】 若要从玻璃板上方看不到金属片， 就应使金属片上所有点发出的光线在玻璃板的上 表面纸片遮盖区域以外发生全反射。 【解】如图所示，设纸片的最小直径为 L，考虑边缘光线满足全反射条件时
°
°
∵ I 3 = I 2 = 30° ∴ I 5 = 30° n sin I 3 = sin I 4
sin I 4 = I 4 = 60 °
3 2
同理：由 B 点发出的反射光线可以到达 C 点处，并发生反射折射现象
I 7 = 30 °
I 8 = 60
°
C 点的反射光线可再次到达 A 点，并发生折、反现象。
′ l1 = 300mm ′ l 2 = l1 − d = 300 − 300 = 0mm ′ ∴ l 2 = 0mm
即： 物体位于－∞时， 其高斯像点在第二面的中 心处。 （2） 由光路的可逆性可知 ： 第二面上的十字丝像在 物方-∞处。 （3）当 h1 = 10mm 时，如图所示
r1=100mm I I' U' B' n=1.5 B'' -I2 U2' A'(A'') -x I'2 -L2 d=300mm r2=∞ L'2
r1=30mm
r2=-30mm
O l' 2
A'2 l2 l' 1
A'1（A2）
β1 =
l '1 < 0 ，物像虚实相同，为实像 l1
但由于右侧球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面 A2 为虚物。
′ l 2 = l1 − 2r = 90 − 60 = 30mm ，代入公式得：
1 1 − n n 0.5 1.5 1 = + = + = ′ r2 l2 30 30 15 l2 ′ l 2 = 15mm
r1=200mm
r2=-200mm
代入公式： 解得
n′ n n′ − n − = l′ l r
A A'
B' (B)
l A = 80mm ， l B = 200mm
由此可见：两种方法得到相同的结果。 13．有平凸透镜r1=100mm，r2=∞，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时，求高斯像的位置l’。 在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像处？当入射高度h=10mm时，实际光线
β2 =
l '2 > 0 ，物像虚实相反，为实像。 l2
r2=-30mm
（2）当凸面镀反射膜时，平行细光束入射到玻璃球上， 经左侧球面反射后成像，如图所示。 将 l = −∞ 代入公式
r1=30mm
1 1 2 得： + = l′ l r
虚象
l'
A'
O
l′ =
r = 15mm 2
（3）当凹面镀反射膜时，成像过程如图所示：平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折 射后形成中间像 A1' ，它又是右侧反射球面的物
2
3
′ l 2 = −10mm ,
实像
（4）图同（3）再继续经前表面折射时，光线由右向左传播成像，不符合公式使用条件。但
′ 根据光路的可逆性原理， 将物看成像， 将像看成物， 即符合公式使用条件。 将 l 3 = 50mm
代入公式得：
1 .5 1 n − 1 − = ′ l3 r l3 l 3 = 75mm ，
I2
n2 Im n1
n1 sin I m = n2 sin 90° sin I m = n2 n1 n2 n1
2 2
I1
cos I m = 1 −
∴ n0 sin I 1 = n1 1 −
n2 n1
2 2
= n1 − n 2
2
2
1
9． 一直径为 20mm 的玻璃球， 其折射率为 3 ， 今有一光线以 60 入射角入射到该玻璃球上， 试分析光线经玻璃球传播情况。 【解】在入点 A 处。同时发生折射和反射现象
2
°
间。 根据物象空间正确选择折射率代入成像公式， 物象的虚实判断可根据β的符号性质， 也可根据是否有实际光线到达来判断。 【解】 （1）此时的成像过程如图所示：平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面折射后形成 中间像 A1' ，它又是右侧球面的物 A2 ，经右侧球面再次成像于 A' 2 。
∵
n′ n n′ − n − = ，将 l = −∞ 代入公式： l′ l r ′ n × r1 1.5 × 30 l1 = = = 90mm n −1 0.5
Chp1
3．一物体经针孔相机在屏上成一 60mm 大小的像，若将屏拉远 50mm，则像的大小变为 70mm，求屏到针孔的初始距离。 【解】∵ ΔOA′B ′ ∽ ΔOA′′B ′′
A O B A' A'' B' 50
OB ′ A′B ′ 60 = = OB ′′ A′′B ′′ 70 OB ′′ = 50 + OB ′ OB ′ = 300mm
A
A'
此时 l B = −200mm ， 代入求解得：
l A = −100mm
′ l A ′ = −80mm ， l B = −200mm ′ 放回原题中得： l A = 80mm ，
如右图所示。 方法 2：认为 A，B 均为像点，求其物 此时，
′ l B = 200mm
′ l A = 100mm ′ l B = 200mm r = 200mm
sin I = sin I ′ =
h1 10 = = 0 .1 r1 100
L'1
1 n × sin I = × 0.1 = 0.06667 n′ 1 .5
I ′ = arcsin 0.06667 = 3.822 ° U ' = U + I − I ′ = 0 + 5.739 − 3.822 = 1.9172 ° ′ = r × (1 + L1
sin I / 0.06667 ) = 100 × (1 + ) = 299.374mm sin U ' 0.0334547
′ L2 = L1 − d = −0.626mm − I 2 = U ' = 1.9172° ′ n sin I 2 = × sin I 2 = −1.5 × sin 1.9172° = −0.05018 1 ′ I 2 = −2.87647 °