《寿险精算数学》 §2.5 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
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期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
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生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
(2.5.7)
得到:
( dax Ax d ( m ) axm) Axm d a 1 ( axm) ( m)x ( m) ( Ax Axm ) d d
(2.5.25)
在尾龄服从死亡均匀分布条件下,有
Axm
离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支 付一次年金的保险。 1.按年付生存年金 按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次金融的生存 年金。 设年龄为x 岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位 的终身生存年金（即期初付），其精算现值 ax用现时支付法为：
终身生存年金
ax
定期生存年金
Nx Dx
ax ax:n
N x 1 Dx
ax:n
延期终身生存年金
N N xn x Dx N xm Dx
N x 1 N x n1 Dx N x m1 Dx
a m x
延期定期生存年金
a m x
a m x:n
1 vn an d
故有
1 dax Ax (2.5.7)
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期末付终身生存年金
ax v k
k 1 k
px
期初付生存年金与期末付生存年金的关系
ax ax 1 1 Ax ax ax 1 1 d 1 d Ax 1 [1 (1 i ) Ax ] d i
j | 1 qx k ]
m m
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• 在UDD （即年龄内死亡均匀分布）假设下，有
t x
q tqx
m m m m m
j | 1 qx k j 1 qx k j qx k ( ) qx k ( ) qx k
i i
(m)
Ax
( anm )
i i
( m)
an
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( Axm) v k 0 j 0
m 1
k
j 1 m
k j | 1 qx v
m m
m1
k jm1
k 0 j 0
k j px 1 qx k j
v K 1 , K 0,1, , n 1 zK n ,K n v 1 z K 1 E[ z K ] 1 Ax:n 1) ax:n E[Y ] E d d d 2 Ax:n Ax2:n 1 v K 1 1 2) Var[Y ] Var d 2 Var[ z K ] d2 d
m m
m
j km
j km
px k px j pxk
m
m m m m m
px 1 qxk j k px j pxk 1 qxk j
m m
k px j | 1 qxk
A
( m) x
[v
k 0

k 1
k px v
j 0
m1
j 1 1 m
x
N x Dx k
k 0

ax
Nx Dx
(2.5.4)
相关公式
zK v K 1 , K 0,1, 2,} 1 zK 1 E[ zK ] 1 Ax 1) ax E[Y ] E d d d 2 1 v K 1 1 Ax ( Ax ) 2 2) Var[Y ] Var Var[ zK ] d d2 d2
1 qx k )] m
j 1 1 m
[v
k 0

k 1
k px qx k (v
j 0
m 1
1 )] m

1 m
i i
(m)
1 1 m
Ax
v
1 m
2 1 m
v
v
1 m
0

i i (m)
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j m 1 m j m 1 m qx k
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A
( m) x
[v
k 0
k 1

k 1
k px v
j 0
m 1 j 0
j 1 1 m
m 1
j 1 1 m
j | 1 qx k ]
m m
[v
k 0
k p x (v
• 若用总额支付法，则期初付年金为1个单位的终身生存年金支 付的现值 K Y aK 1 v j
j 0
•
于是，有
ax E[aK 1 ] ak 1 Pr( K k ) ak 1 k qx
k 0 k 0


•
交换求各顺序，则式(2.5.3)可转化为
ax E (Y ) v k | qx = v j k | qx
j k 0 j 0 j 0 k j

k


= v
j 0

j

k j

qx v j j px k|
j 0

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生存年金计算换算公式
Dx v lx

类似于上一节的公式，有
1 2 ( Y aKm)S , S m , m ,, mm1 , K 0,1,, n 1,
1 vK S 1 vn (m) ( ( axm ) E (aKm )S ) E ( ( m ) ) an ( m ) d d 1 ( m ) (1 Axm ) (3.2.23) d
N x m N x m n Dx
a m x:n
N x m1 N x m n1 Dx
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2. 每年分m次支付的生存年金
(1)期初付终身生存年金
基本公式：
ax
m
k 1 m v k px k 0 m m
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延期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
延期m年初付 n年定期生存年金
精算 现值
m
ax a x a x:m m Ex ax m 1 ( Ax:m Ax ) d
mn
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1 ( Ax:m Ax:m n ) d
1 k ax k Ex v k px v lx k lx k 0 k 0 k 0
k
• • •
(2.5.1)
• •
上式右边表明：该群体中生存到x+k岁的 ，每人获得1元的金 额。 lx k
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生存年金计算方法
m 1 2m
(2.5.27)
《寿险精算数学》
• 先根据恒等式
0|
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近似公式的推导
ax ax 0
1|
ax ax 1
k m
•
引出线性插值近似计算式：
k | m
ax ax
•
故
( a xm )
1 ( 0| ax 1 | ax 2 | ax m1| ax ) m m m m 1 1 2 m 1 [ ax ( ax ) ( ax ) ( ax )] m m m m 1 2 (m 1) =ax 2m m 1 =ax 2m