一个因数少1,最后一个因数是n－m＋1 (3)分母的第一个因数是m,后面每一个因数比它前面
一个因数少1,最后一个因数是1．
注意区别: Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
C C C 例6 计算：⑴
4 7
⑵
7 10
⑶
7 35
C A (5) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
C ⑷
197 200
例7.计算:
(1)C929
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请
赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
C 以计算 3 为例,来推导组合数公式 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数，用符号 Cnm 表示
如: C32 3 C42 6
C 思考:如何计算: m n
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
问题三：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 组成多少个没有重复数字的两位数？
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
A C A m m m
n
n
m
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
0 n
Cn11

C2 n2

C3 n3





C m1 n m 1

C m1 nm
例4:计算
(1)C33n8n

C 3n n 21
(2)C133nn
C 3n1 12 n
C3n2 11 n





C17n 2n
例5:解不等式
1 Cn3

1 Cn4

2 Cn5
Cnm

n! m!(n
m)!
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
这里m、n N *,且m≤n，这个公式叫组合数公式.
它有以下三个特点： (1)分子和分母都是m个连续正整数连乘; (2)分子的第一个因数是n,后面每一个因数比它前面
a
b
c
d
所有的组合为：
abc ， abd ， acd ， bcd .
所有的排列为：
abc bac cab bca acb cba dab abd bad dba adb bda cad dac acd cda dca adc bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
A32 6
有顺序
问题四：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 构成多少个不同的集合？
{1,2}；{1,3}；{2,3}
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
Anm

(n
n! m)!
Cnm

n! m!(n
m)!
规定: 0! 1
Cn0 1
由组合数公式知: Cnn 1
例1: 求证
C
m n

m 1 nm

C m1 n
例2: 求证
(1)
Cnm

C nm n
(2)
Cm n1

C m1 n
Cnm
组合数的两个 重要性质
例3:
求证
C