排列数、组合数及二项式定理整理慈济中学全椒1、排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．2、排列恒等式(1)1(1)mm nn A n m A-=-+;(2)1mmn n n A A n m -=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L .3、组合数公式m n C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).4、组合数的两个性质 (1)m n C =mn nC - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.5、排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ .6、二项式定理：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L【注】：1．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr n T C a b -+=表示。
2．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
3．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L4．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r nn n n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。
如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC -,12n nC+同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。
7、组合数公式的应用:公式1m mc +m m c 1++m m c 2++……+m k m c +=11+++m k m c 此公式可由下面方法推得 从1++n m 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数为11+++m k mc 先将其分为1++n m 个元素中不含其中一个元素1a 的和含元素1a 的两类而这两类的组合数分别为1++m kmc 与m kmc +即得11+++m k mc =1++m kmc +m kmc +，依此再将组合数1++m kmc 分为两类可得1++m k m c =11+-+m k m c +m k m c 1-+，不断将组合数上标为1+m 的项进行如此分类即得公式1。
公式20mc .k n c +1m c .1-k n c +2m c .2-k n c +……+m m c m k n c -=kn m c + 此公式可由下面方法推得。
从放在一个盒中的m 个不同黑球与n 个不同白球中任取出k 的球的方法种数为kn m c +，将取出的k 个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k 个共k+1类，取法种数分别为0m c .kn c ，1m c .1-k n c ，2m c .2-k n c ，……，mmc mk nc -即得公式2。
下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。
例1n s =1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1) 求n s解：1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1)= 2(22c +23c +24c +…+21+n c ) ∴n s =232+n c =3)1)(2(nn n ++例2 求n s =12+22+32+……+n 2解：∵21+n c =2)1(n n + ∴221+n c =n 2+n ∴2（22c +23c +24c +…+21+n c ）=n s +2)1(n n +∴232+n c =n s +2)1(n n + 得3)1)(2(n n n ++=n s +2)1(n n +整理得n s =6)12)(1(++n n n例3求n s =13+23+33+……+n 3解：∵32+n c =6)1)(2(n n n ++ ∴632+n c =n 3+3n 2+2n6（33c +34c +35c +…+32+n c ）=n s +36)12)(1(++n n n +22)1(n n +∴643+n c =n s +36)12)(1(++n n n +22)1(n n + 解出n s 并整理得n s =4)1(22n n + 用类似的方法可求出a n =n 4，a n =n 5，…的和。
例4 一盒有大小相同的黑球M 个，白球N 个，从中任取m 个球（m ≤M ，m ≤N ），求含有白球的个数ξ的数学期望。
∴E ξ=mNM c +1（11-m M N c c +222-m M N c c +…+（m-1）11M m N c c -+m 0M m N c c ）E ξ=m NM c N+（N 111-m M N c c +N 222-m M N c c +…+N m 1-11M m N c c -+Nm 0M m N c c ） E ξ=mNM c N+（11--m M N c c +211--m M N c c +…+121M m N c c --+011M m N c c --）(∵Nm m N c =11--m N c ) ∴E ξ=m NM c N+11--+m M N c =mNM c N+M N m +mMN c +=NM Nm +（此为超几何分布的数学期望） 8、二项式定理的应用：题型一：二项式定理的逆用；例：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L解：012233(16)6666n n nn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，123211221666(666)6n n nn n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L练：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知245n nC -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r rrrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得， 则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。
练：求291()2x x-展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。