2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.1．已知{}|||2A x x =∈R ，{}|1B x x=∈R ，则A B = ( ) A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x =∈-R ,于是{21}A B x x =∈-R2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )A. 7-B.4-C. 1D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,min 3257Z =-⨯=-.第2题图 jxq563．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）第3题图 jxq57 A. 64 B. 73C. 512D. 585【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，跳出循环，输出73S =.4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ,3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭故体积缩小到原来的18，命题正确；(步骤1)对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2） 对于命题③，圆2212x y +=的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离222d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 3则p = （ ） A. 1 B.32C. 2D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得3ba=，即渐近线方程为3y x =±.（步骤1） 而抛物线的方程为2p x =-，于是33,,,2222p p p p A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =.（步骤2） 6．在△ABC 中, π,2,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠ = （ ）A.10 B.10 C.310D.5 【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】 由余弦定理可得2222cos 2922352AC BA BC BA BC ABC =+-∠=+-⨯⨯⨯= （步骤1） 于是由正弦定理可得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，于是233102sin 105BAC ⨯∠==. （步骤2）7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 4【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=，可得0.51|log |2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设()()0.51|log |,2xg x x h x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.第7题图 jxq588．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是 （ ）A. 15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 1130,5,022⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎭D. 52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】利用绝对值不等式解含参的一元二次不等式. 【难易程度】较难 【参考答案】A 【试题解析】()()11,,0,(1)022A f a f a a a ⎡⎤-⊆∴<∴+<⎢⎥⎣⎦，解得10a -<<，可排除C ，（步骤1）又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111(1)12222a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭.（步骤2）10a -<<115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭221515,2424a a ⎛⎫⎛⎫∴--+>-∴-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1502a -∴<<.排除B,D.应选A.（步骤3）第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) =b i, 则a + b i = . 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出含复数的等式求值. 【难易程度】容易 【参考答案】12i +【试题解析】由(a + i)(1 + i) =b i 可得()()11i i a a b -++=，因此10,1a a b -=+=，解得1,2,a b == 故i 12i a b +=+10．6x x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项求常数项. 【难易程度】容易 【参考答案】15【试题解析】6x x ⎛- ⎝的展开通项为()()36621661C 1C rr rr r r r r T x x x --+=-=-，令3602r -=，解得4r =，故常数项为()4461C 15-=. 11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为π4,3⎛⎫⎪⎝⎭, 则CP = .【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.【考查方式】给出极坐标方程及点P 的极坐标，利用极坐标与直角坐标的互化及两点间的距离公式求距离.【参考答案】23【试题解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即()2224x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为()2,0，又点P 的直角坐标为()2,23，因此23CP =.12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.【考查方式】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，运用平面向量的运算求值. 【难易程度】简单 【参考答案】12【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB +，12BE BC CE AD AB =+=-， ∴AC BE =221122AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+-2111cos60122AB AD AB ︒=+-=，（步骤1） ∴12AB =.（步骤2）第12题图 jxq5913．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .第13题图 jxq60【测量目标】圆的切割线定理，三角形相似.【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值.【参考答案】83【试题解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以ABC EAB ∠=∠，所以AEBC .（步骤1）又因为ACDE ，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是()265EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4,6AC BC ==，（步骤2） 又因为AFC DFB △∽△，所以456CF CF =-，解得83CF =.（步骤3） 14．设a + b = 2, 0b >, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求a 的值. 【难易程度】较难 【参考答案】2-【试题解析】由于a + b = 2，所以1||||||2||444a a b a a b a a b a b a a b ++=+=++，（步骤1） 由于0,b a o >>，所以||||2144b a b a a ba b+=，因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=；（步骤2） 当0a <时1||2||a a b +的最小值是13144-+=， 故1||2||a a b +的最小值为34，此时||40ba ab a ⎧=⎪⎨⎪<⎩，即2a =-.（步骤3） 三．解答题: 本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)已知函数2π()226sin cos 2co ,s 41f x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭+∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性和最值.【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值. 【难易程度】容易【试题解析】(I)()ππ2cos2sin3sin2cos244f x x x x x=+-π2sin22cos224x x x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，故()f x的最小正周期2ππ2T==；（步骤1）(II)因为()f x在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且()02f=-，3π8f⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f⎛⎫=⎪⎝⎭，故()f x在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为2-.（步骤2）16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(I)记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则()1322252547C C C C6C7P A+==，故所求概率为67；（步骤1）(II)X的所有可能取值为1,2,3,4.()3347C11C35P X===，()3447C42C35P X===，()3547C23C7P X===，()3647C44C7P X===.故X的分布列如下表是：（步骤2）其期望14241712343535775EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤3）17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.第17题图jxq61【测量目标】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用. 【考查方式】建立空间直角坐标系，利用空间向量证明及求值. 【难易程度】中等【试题解析】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E .(I)易得()111,0,1B C =-，()1,1,1CE =--，故110BC CE =，因此11B C CE ⊥；（步骤1） (II)()11,2,1B C =--，设(),,x y z =n 是平面1B CE 的法向量，则10B C CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ，得200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，取1z =可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1=--n .（步骤2） 由(I)11B C CE ⊥，又111B C CC ⊥，故11B C ⊥平面1CEC ， 知()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量.（步骤3） 故111111cos ,B C B C B C ==n n n 277142=-⨯， 知1121sin ,7B C =n ，所以所求二面角的正弦值为217；（步骤4）(III)()0,1,0AE =，()11,1,1EC =， 设()()1,,01EM EC λλλλλ==，则(),1,AM AE EM λλλ=+=+.（步骤5）取()0,0,2AB =为平面11ADD A 的一个法向量，设θ为AM 与平面11ADD A 所成的角， 则2||sin |cos ,|||||321AM AB AM AB AM AB λθλλ===++. 于是226321λλλ=++，解得13λ=（负值舍去），（步骤6）所以2AM =.（步骤7）第17题图1 jxq6218．(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若AC DB ＋AC DB ＋AD 8CB =, 求K 的值.【测量目标】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【难易程度】中等【试题解析】(I)设(),0F c -，用33=a c ，知c a 3=.（步骤1） 过点F且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有()12222=+-by a c ， 解得6y =，于是334362=b ，解得2=b .（步骤2） 又222b c a =-，从而1,3==c a ，所以椭圆的方程为22=132x y +.（步骤3）(II)设点()11,C x y ，()22,y x D ，由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()0636322222=-+++k x k x k求解可得21x x +22623k k =-+，21x x =223623k k-+（步骤4） 因为A ()0,3-，B ()0,3所以AC DB ＋AD CB()()()()112222113,3,3,x y x y x y x y =--++--1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++ ()()222121262222k x x k x x k =-+-+-22212623k k +=++. （步骤5）由已知得222126823k k ++=+，解得=k . （步骤6） 19．(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【测量目标】等比数列的通项及性质，前n 项和.【考查方式】利用等差、等比数列的性质求通项及前n 项和，分类讨论并利用单调性判断最值. 【难易程度】中等 【试题解析】(I)设{}n a 的公比为q ，因为335544,,S a S a S a +++成等差数列.所以55334455S a S a S a S a +--=+--，即534a a =，故25314a q a ==.（步骤1） 又{}n a 不是递减数列，且132a =，故12q =-， 故等比数列{n a }的通项公式为11313()(1),222n n n n a --=⨯-=-（步骤2） (II)由(I)得()()1211212nnn nn S n --⎧+⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数，（步骤3）当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <=，故1111506n n S S S S <--=. 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故2314n S S =<，故22117012n nS S S S >--=-. 综上，{}n T 的最大项为56，最小项为712-.（步骤4） 20．(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<. 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，直接证明.【考查方式】给出函数方程，利用导数求单调区间，利用零点证明等式，结合导数证明不等式. 【难易程度】较难【试题解析】(I)由题()()()2ln 2ln 10f x x x x x x x '=+=+>，令()0f x '=得x =（步骤1） 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示.因此，函数的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎭；（步骤2） (II)证明：当01x<时，()0f x . 设0t >，令()()()1h x f x t x=-，由(I)知，()h x 在区间()1,+∞单调递增.（步骤3）()10h t =-<，()()22e e ln e e 10t t t t h t t =-=->，故存在唯一的()1,s ∈+∞，使得()t f s =成立；（步骤4） (III) 证明：因为()s g t =，由(II)知()t f s =，且1s >，从而()()()2ln ln ln ln ln ln ln g t s st f s s s ===()ln 2ln ln ln 2ln s u s s u u=++，其中ln u s =. 要使()ln 215ln 2g t t <<成立，只需0ln 2uu <<.(步骤5) 当2e t >时，若()e s g t =，则由()f s 的单调性，有()()2e e t f s f ==，矛盾.故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.（步骤6） 另一方面，令()()ln 12u F u u u =->，则()112F u u '=-，令()0F u '=，得2u =. 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<. 故对1u >，()()20F u F <.因此ln 2uu <成立.（步骤7） 综上，当2e t >时，有2ln ()15ln 2g t t <<.（步骤8）。