江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学（理）试卷考试时间：120分钟 分值:150分一、选择题:本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}01,2,3A =，，集合{}2B x x x ==，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}01，2．已知复数51-i 1+iz =，则z 的虚部是（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．已知p ：11a≤，q ：210a -≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．sin155sin35-cos25cos35︒︒︒︒=（ ）A ．3- B ．12-C ．12D ．35．在()62x y x y ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，52x y 的系数是（ ） A ．20 B ．152 C ．12- D ．252- 6．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ）A ．庚午年B ．辛未年C ．庚辰年D ．辛巳年7．已知13()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A ．20.5(log 7)(log 2.5)(1)f f f <<B ．0.52(log 2.5)(log 7)(1)f f f <<C ．0.52(1)(log 2.5)(log 7)f f f <<D ．20.5(1)(log 7)(log 2.5)f f f << 8.若函数sin 23y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos 2y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ）A ．1-B ．2-C ．12- D.14- 9．如图ABCDEF 为五面体，其中四边形ABCD 为矩形,//,EF AB 33=32AB EF AD ==，ADE △和BCF △都是正三角形，则该五面体的体积为（ ）A ．72B ．423 C ．2D ．32210．在三角形ABC 中，F E 、分别为AB AC 、上的点，CF BE 与交于点Q 且2AE EC =，3AF FB =,AQ 交BC 于点D ,AQ QD λ=,则λ的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．102B ．53C ．173 D ．9412．设k ，b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,+∞上恒成立，则2+-21k b k -的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为14．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数()f x 在2x π=处的切线方程为 15．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B 两点在准线上的射影分别为,M N ，AFM ∆的面积与BFN △的面积互为倒数，则MFN ∆的面积为16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面PAD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥Q ACD -的体积最大时的外接球的体积为三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
(一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 的前三项依次为1-1a ，22a +，33a .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）求数列{}n +n a b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，2=AC ,2BC CD ==，E 为空间内一点，BC CD ⊥,且CDE △为以CD 为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD .（2）若2BE =，试求平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-. （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完。
根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。
如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25，30），需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数2736207（1）求七月份这种饮品一天的需求量X （单位：瓶）的分布列； （2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位:瓶）应满足什么条件？21.（本小题满分12分）已知函数()()axax x f ln =（1）讨论函数()x f 的单调区间. （2）若当1=a 时，()()()xex f x F x f 92+= 求证：()0>x F . （二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。
22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为()为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=42441211， 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线12C C ，的普通方程； （2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 23．已知a ，b ，c 为正数， （1）证明2+-33232332b c a a c b a b ca b c+-+-++≥. （2）求4444111+++a b c a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值.江西省重点中学协作体第一次联考数学（理）答案一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D CBBCDBCACAC二、填空题17. 10 14.2=y 15.2 16.π31040 18. 解(1)由题意得：()()1,615472-=∴+⨯=+d d d ，或11=d (舍）∴n a n -=6............................................3分又 23,6,45211=∴==-=q b a b 公比123.4,-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b ............6分（2）123.4,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=n n n b n a())..........(..................................21212211n n n n n b b b a a a b a b a b a S +++++=++++++= nn n n s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∴23882112-2..........12分18．解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ， 因为ABD △是等边三角形，2=BD 所以AO BD ⊥，...........2分且3=AO ，又因为2BC CD ==，所以112CO BD ==，又2=AC 222AC OC AO =+∴OC AO ⊥∴................4分AO BD ⊥又因为CO BD O ⋂=，所以平面ABD BCD ⊥平面， (6)分()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ， 且2BD =，3AO =，故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨令E 在平面BCD 上方 取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，2OF =，6EF =， 设EFO πθ∠=-， 则()0,0,0O，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()003A ,,，()0,1,0B -11cos ,co 1s ,sin 2212222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos ,co 113s ,sin 222222BE θθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭23sin 21cos 2cos 232=∴=∴=+∴=θθθBE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴464343，，E ..........8分 所以()1,1,0CD =-，13644CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，01360444x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则61,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．..........................10分 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =，所以c os,4OC n〈〉==，即平面ECD与平面ECD的锐二面角的余弦值为46...............12分19.解（1）由题意可知：2,42==aa................1分设点()()2211,,yxByxA，BA,在椭圆上1221221=+∴byax.........①1222222=+byax...........②43.-=OMABkk43.21211212-=++--∴xxyyxxyy..........③由①-②及③得43-22-=ab............................4分32=∴b∴椭圆C方程为: 13422=+yx.....................5分（2）设直线()1-=xkyl；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422xkyyx得()01248432222=-+-+kxkxk2221222143124,438kkxxkkxx+-=+=+∴ ,..............................7分∴)433,434222kkkM+-+（，假设存在点D,则MD的直线方程为：)434(1433222kkxkky+--=++)43340(2kkD+-∴，2243)1(12kkAB++=，.............................................9分22222431443411kkkkkkMD++=-++=.........................10分若ABD∆为等边三角形则：MD=2243)11223kk++⨯（224314kkk++=即027232=+k，方程无实数解，∴不存在这样的点D..................................12分20.解：（1）依题意得：X的所有可能取值为500,300,200，..................1分由表格数据知()3.09027500P===x，()4.09036300P===x，()3.09027200P===x，......4分因此分布列为..........................................................................5分(2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑500200≤≤n。