南京师范大学毕业设计（论文）（2009 届）题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系学院：数学科学学院专业：数学与应用数学姓名：刘峰学号：0 6 0 5 0 2 1 0指导教师：杨明升南京师范大学教务处制漫谈射影几何的几种子几何及其关系刘峰数学与应用数学（师范）06050210一．摘要射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来.概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一.二．关键词射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群.三．射影几何（projective geometry）的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学.基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变. 这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科.射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪. 在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念. 稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡.1639年，笛沙格出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念. 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础. 用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理.帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线. ”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理. 1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容. 迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标. 帕斯卡接受了这些建议. 后来他写了许多有关射影几何方面的小册子.不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积). 但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何. 他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了.射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列. 他是画法几何的创始人蒙日的学生. 蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何. 由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做.1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作. 他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家. 他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理. 稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的. 为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念. 由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步.另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展. 首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等. 接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标. 他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念.在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法. 还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证. 1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系.射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用.四．克莱因（F·Klein）的变换群观点几何学可以用公理化方法来建立，也可以用变换群的方法给予新的定义. 几何学的群论观点，是由德国数学家克莱因（F·Klein）于1872年在埃尔朗根大学任教授时所作的题为“近代几何学研究的比较评述”的演说中首先提出来的，历史上称为《埃尔朗根纲领》（Erlangen Program）.克莱因（F·Klein）在“埃朗根纲领”中提出，将几何学看作是图形对某种变换群的不变性质的学问，即关于这种群的不变量理论. 他于第二年发表《论所谓欧几里得几何》（1873），指出欧氏几何、非欧几何均可用纯射影的办法构造出来. 他还将几种经典几何看作是射影几何的子几何. 例如欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何. 两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何也都是射影几何的子几何，非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进. 这种研究方法在此后几十年里对射影几何学乃至整个几何学都产生巨大影响.埃尔朗根纲领可以概括如下：给出集合S和它的一个变换群G，A和B是空间S的两个子集，若存在变换f ∈G,使得f（A）=B，则称A与B等价，记作A≈B. 可以证明“≈”是一种等价关系：（1）任何子集A总与自己等价，即A≈A；（反身性）（2）若A≈B，则B≈A；（对称性）（3）若A≈B，且B≈C，则A≈C. （传递性）由于“≈”是一种等价关系，因此它可以确定集合S的一个分类方法，所有等价的子集都属于同一类，不等价的子集属于不同的类，集合S的每一元素恰属于同一类.设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间，S的元素称为点，S的子集称为图形，G称为空间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S, G).现在我们规定，集合S叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于同一个等价类，于是同一类里的一切图形共有的性质和几何量必是变换群下的不变性质和不变的量；反之，图形在变换群中一切变换下的不变性质和不变量必是同一个等价类里一切图形所共有的性质. 因此，可以用变换群去研究相应的几何学，这就是克莱因的几何学的群论观点.因此，若给定一个集合以及此集合上的一个变换群，则空间内的图形对于此群的不变性质的命题系统的研究就称为这空间的几何学，而空间的维数就称为几何学的维数，且称此群为该几何学所对应的变换群.有一个变换群就相应的有一种研究在此群作用下不变性质理论的几何学.例如，欧氏平面上正交变换构成群，所以正交变换具有下列三个性质：（1）恒等变换是正交变换（2）正交变换的逆变换是正交变换.（3）两个正交变换的乘积仍然是正交变换.一个图形与经过正交变换所得到的对应图形是合同的. 由此可推出：合同具有反身性，对称性和传递性，因而合同关系是一等价关系，它可将平面上所有的图形分类，凡合同的图形属于同一等价类，欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏几何学.同理，在仿射变换群下图形的不变性质所构成的命题系统就是仿射几何学；射影变换群下的图形不变性质构成的命题系统就是射影几何学.一百多年来数学的发展说明了克莱因用变换群刻画几何学的观点在近代几何领域起了很大作用，它使各种几何学化为统一的的形式，因而得到对事物的某种统一，同时又明确了各种几何所研究的对象；它给出了一半冲向空间所对应几何学的一种方法，建立了多种几何学，如代数几何，保形几何及拓扑几何学等.五．平面上的几个变换群1.射影变换群设π, π'为两个点场. 若φ：π→π' 满足(1) φ为双射,(2) φ使共线点变为共线点；(3) φ保持共线四点的交比不变；则称φ为点场π到π'的一个二维射影对应.显然，透视对应是特殊的射影对应. 二维射影对应使得点对应于点；直线对应于直线. 因此，也称此处的二维射影对应为直射.对于二维射影对应φ：π→π', 若π=π', 则称φ为二维射影变换. 平面上全体射影变换的集合K对于变换的乘法构成变换群，称变换群K为射影变换群.设在点场π, π'上各取定齐次射影坐标系. 称由'1111122133'2211222233'3311322333||||0,0ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x ρρρρ⎧=++⎪=++=≠≠⎨⎪=++⎩所决定的对应为π到π'的一个二维射影对应， 其中(x 1, x 2, x 3)与(x'1, x'2, x'3)为对应点的齐次坐标，A 称为射影对应的矩阵. 射影变换是特殊的射影对应，此时(x 1, x 2, x 3)与(x'1, x'2, x'3)为相对于π上的同一个射影坐标系而言. 显然,，上式为非奇异线性对应. 由于p 的存在(齐次性)， 对任意的p ≠0,，p A 与A 表示同一射影对应的矩阵. 因此A 中9个元素只有8个独立， 故A 是8参数的，所以K 是一个8维群.2. 仿射变换群在射影平面上，保持一条指定直线不变的直射变换称为仿射变换，这条指定的直线称为仿射变换的绝对形.射影平面上的全体仿射变换的集合KA 对于变换的乘法构成一个变换群，他是射影群的子群，称为射影仿射变换群；仿射平面上全体仿射变换的集合A 构成变换群，称变换群A 为仿射变换群.显然，射影仿射变换群KA 与仿射变换群A 之间有一个自然的同构映射. 在射影变换∑=≠≠==31'0,0||,3,2,1j ij j ij i a i x ax ρρ中，保持l ∞：x 3=0不变⇔a 31=a 32=0'1111122133'22112222333333'33330,0x a x a x a x x a x a x a x a A x a x ρρρρ⎧=++⎪=++≠≠⎨⎪=⎩将上式化为非齐次(前二式分别除以第三式). 得1111122222'||0'x a x b y c a b A y a x b y c a b =++⎧=≠⎨=++⎩ 显然仿射变换群是射影变换群的子群，A 中9个元素只有6个独立， 故A是6参数的，所以A 是一个6维群.3. 正交变换群在仿射变换111222'||0'x a x b y c A y a x b y c =++⎧≠⎨=++⎩中, 如果矩阵A 为正交阵, 即满足AA'=E ，则称为正交变换,，上式的齐次坐标表达式称为射影正交变换. 正交变换的形式与解几中的直角坐标变换完全相同. 因此，它也体现为平移、旋转、轴反射及其合成. 也可化为三角函数表达式()'cos sin 1'sin cos x x y a y x y bθλθλθλθ=-+⎧=±⎨=++⎩其中a ，b ，θ为参数. 类似于仿射变换群的讨论，我们可以得到关于正交变换群的下列两个结论.1. 射影仿射平面上的全体射影正交变换KM 构成变换群，成为射影正交变换群；仿射平面上全体正交变换的集合M 构成的变换群，称M 为正交变换群.2. 射影正交变换群KM 为射影仿射变换群KA 的子群，而且KM ≌M. 综上，我们在射影平面和仿射平面上个得到了一个变换群系列，则上述两个系列的变换群有如下的关系K K A K M ⊃⊃≅ ≅A M ⊃综上所述，就变换群的大小而言，正交群⊂仿射群⊂射影群.K ={平面上全体射影变换} 射影变换群K KA ={平面上全体射影仿射变换} 射影仿射变换群KA KM ={平面上全体射影正交变换} 射影正交变换群KM A ={平面上全体仿射变换} 仿射变换群A M ={平面上全体正交变换} 正交变换群M射影平面仿射平面六．平面上的几种几何学如果(S,G )为一个几何学，H 为G 的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. 设Σ⊂S ,Σ≠Ø. H 为G 的子群， 且对任意的g ∈H , 都有g (Σ)=Σ (例如对任意τ∈KA , τ(P\l∞)=P\l ∞)；又H Σ为Σ上的一个变换群， 且H Σ≌H (如A 为P\l ∞上的变换群, A ≌ KA )，则称(Σ, H Σ)为(S,G)的一个以(S, H)为伴随绝对子几何学的相对子几何学, 并称B=S \Σ为的绝对形(如l ∞为绝对形).子几何学中研究的关于G 的子群H 的不变性和不变量，这些不变性和不变量有的可能关于群G 保持不变，而有的则不能. 反之，由于H 是G 的子群，所以所有关于G 的不变性和不变量必定都辈子几何学（S,H ）所继承，继续保持不变. 这就是说，变换群越大，可研究的几何学内容就越少，变换群越大小，几何学的内容就越丰富，换句话说，子几何学的内容要比母几何学的内容丰富. 但是，变换群越大，其讨论的内容在这个几何学系列中就一定越具有纲领性意义.1. 射影几何学根据克莱因（F·Klein）的观点，从属于射影平面上摄影群的几何学就是射影平面几何学. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学.中心射影（又叫透视对应）是射影几何的基本方法，我们从图中看两个最基本的欧氏空间中线到线，面到面的中心射影.显然OU 与l '不相交，我们称 U 为l 上的影消点；OV'与l 不相交， 我们把V'称为l'上的影消点，影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射.由图及上面线到线的中心射影，可以看出 ,,//'u U u OU ππ∈∀∈我们称u 为由影消点构成的影消线，同时'','','//v V v OV ππ∈∀∈我们称v'为由影消点构成的影消线. 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射.影消点，影消线存在的根本原因是，在欧氏空间中，相互平行的直线没有交点，使得中心射影成为一一对应的一个自然途径是给平行直线添加交点，既要对欧氏空间进行改造，通过添加一些新的元素对欧氏空间加以拓广.下面在通常的欧氏空间上引进无穷远点和无穷远直线，约定在每一条直线上添加唯一一点，此点不是该直线上原有的点，称这个点为无穷远点，并规定：【1】. 在每条欧氏直线上引入唯一一个无穷远点；【2】. 在平行的欧氏直线上引入相同的无穷远点；【3】. 在不平行的欧氏直线上引入不同的无穷远点；【4】. 平面上添加的全体无穷远点的集合为一条直线，称其为无穷远直线.1. 拓广直线与欧氏直线相比，拓广直线的内在性质产生了质的变化.1. 1. 拓广直线的封闭性右图示意了圆周与拓广直线之间的一个双射，因此可以将欧氏平面上的圆周取为拓广直线的一种拓广模型. 事实上，有上述双射不难看出，欧氏平面上的任何椭圆进而任何凸闭曲线都可以作为拓广直线的拓扑模型.从而可以发现拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，这与欧氏直线向两个方向无限伸展有本质区别.1. 2. 拓广直线的分离我们知道欧氏直线上一点区分直线为两个部分；两点确定直线上的一条线段. 而拓广直线向两方前进最终都到达同一个无穷远点，所以一点不能区分直线为两个部分，两点也不能确定直线上的一条线段. 为此我们引进“分离”的概念，如右图：称点偶A,B分离点偶C,D，点偶A,C不分离点偶B,D.2. 拓广平面由于添加了无穷远直线，拓广平面与欧氏平面相比，空间内在性质产生也了质的变化.2. 1. 拓广平面的封闭性我们知道任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域（即对于不同的区域的两个点，不可能找到一条连接这两点的连续曲线，使之与边界不相交）；在拓广平面上，任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域（因为如右图，在拓广平面上任意直线l，有一条曲线过无穷远点的曲线链接了A，B但不与l相交）.在欧氏平面上两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域，但在拓广平面上，两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域，可以证明：I，II为同一区域，III，IV为同一区域.2. 2. 拓广平面的拓扑模型模型一：叠合对径的球面. 将一个球面放在一张拓广平面上，使得南极与平面相切，以球心O为投射中心，则显然球面上一条直径的对径点（直线的两个端点）对应于拓广平面上唯一一个点，赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点，球面上的大圆对应为拓广平面上的直线. 这种对应是球面上对径点的集合到拓广平面的一个双射. 于是可以把爹和对经点的球面作为拓广平面的一个拓扑模型.模型二：叠合赤道上对径点的半球面. 由模型一出发，将含北极的半球面去掉，则出赤道上的对径点对应于无穷远直线上的点而外，版球面的点与拓广平面出无穷远直线外的点一一对应，这是拓广平面的又一拓扑模型.模型三：叠合周界上对径点的圆盘. 有模型二，我们把半球面看成有橡皮泥膜制成，将之拉伸，压平，则变成一个实心的圆盘，叠合其周界上的对径点，则得到拓广平面的圆盘模型. 图中A，A；B，B分别是对径点，因此是拓广平面上的同一个点. 将其上ABAB的一块剪下，因为他是橡皮膜，又可以将其拉伸使其变成一个矩形，当我们将两端点粘起来后，就得到了著名的Möbius带，这是一个不可定向的曲面，只有一个面. 因此它是拓广平面上的一块，从而拓广平面是不可定向的.在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”. 如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点. 通过同一无穷远点的所有直线平行. 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了. 平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了. 这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了.射影变换有两个重要的性质：首先，添加了无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了. 射影变换有同素性（即使点列变点列，直线变直线，线束变线束）和关联性（点在直线上，直线过某点）这两个基本不变性；其次，最基本的射影变换不变量是交比，交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应. 所有其他摄影不变性和不变量都是由这些基本的不变性和不变量演绎出来的的性质和数量. 而我们以前经常见到的如距离，角度，平行性等，都不是射影几何学的研究内容.我们简单的研究一下交比的内容，设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P 1 ≠ P 2，其齐次坐标依次为a ，b ，a +λ1b ， a + λ2b . 则记(P 1P 2,P 3P 4)表示这四点构成的一个交比. . 定义为112342(,)PP P P λλ=称P 1, P 2为基点偶， P 3, P 4为分点偶. 从而可推导出若设点列l (P )中四点P i 的齐次坐标为a +λi b (i =1,2,3,4). 则132412342314()()(,)()()P P P P λλλλλλλλ--=-- 如果限于欧氏平面，则上式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅. 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值. 因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比. 设(P 1P 2,P 3P 4 )=r ，当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：【1】 交换基点对与分点对的位置或同时交换基点对与分点对中亮点的位置不改变共线四点的交比值；【2】 仅交换基点对或分点对中二点的位置，共线四点的交比值由r 变为1/r ；【3】 仅交换交比记号中的中间或首尾二点的位置，共线四点的交比值由r变为1-r .进而推出相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：111,,11,,11r r r r r r r ----， 令P 1=P 2或P 2=P 3或P 3=P 4或P 4 = P 1，即当四点中有某二点相同时，上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, ∞. 从而我们有：共线四点的交比值出现0， 1，∞三者之一⇔这四点中有某二点相同.若(P 1P 2，P 3P 4 )= –1, 则称P 1，P 2，P 3，P 4依此次序构成调和点组，并称此交比为调和比.相异四点P 1, P 2, P 3, P 4可按某次序构成调和比⇔这四点的6个交比值只有3个：11,,22-. 调和比是最重要的交比，对于(P 1P 2,P 3P 4 )= –1, 利用初等几何意义，我们有132412342314(,)1PP P P PP P P P P PP =⋅=-，此时, 若4P P ∞=，则可合理地认为211P P PP ∞∞∞==∞，于是13231PP P P =-，这表示P 3为P 1P 2的中点，从而有： 设P 1, P 2, P 为共线的通常点， P ∞为此直线上的无穷远点. 则P 为P 1P 2的中点. 它建立了线段的中点、调和比、直线平行性之间的联系.设线束S (p )中四直线p i 被直线s 截于四点P i (i =1,2,3,4)则12341234(,)(,)p p p p PP P P =；反之，设P i 为点列l (P )中四点，P i 与不在l 上的定点S 连线依次为p i(i =1,2,3,4)，则 12341234(,)(,)PP P P p p p p =. 这就是说，关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过对偶的方式相互移植、相互转化. 从而可以得到：对于通常线束中以k i 为斜率的四直线p i (i =1,2,3,4), 有132412342314()()(,)()()k k k k p p p p k k k k --=-- 进而，设直线p i 与x 轴正向的夹角为αi (i =1,2,3,4). 则将k i =tan αi 代入上式，并利用三角恒等式进行化简，可得对于通常线束中以k i 为斜率的四直线p i (i =1,2,3,4), 有132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p = 其中(p i p j )表示由p i 到p j 的夹角. 由此，我们可以推出：设p i (i =1,2,3,4)为通常线束中四直线，则p 3， p 4为p 1，p 2夹角的内外平分线⇔ (p 1p 2, p 3p 4)=–1, 且p 3⊥p 4 . 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系.。