由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
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dt 13
例7
求摆线
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
在t
2
处的切线方程.
dy
解 dy dt a sin t sin t
dx dx a acost 1 cos t
对数求导法适用范围:
（1）多个函数相乘或商或函数的幂，
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10
对数求导法适用范围(2):
幂 指 函 数u( x)v( x)的 情 形.
[ f ( x)]
a f (x)
幂函数 指数函数
例5 y x sin x , 求y
幂指函数
解： lny sin x ln x
y cos x ln x sin x 1
(x 4 y3 )2
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求y.
解2 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0 将方程两边再对 x求导得
y
4x3 y x 4y3
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
y
12 x 2
2 y 12 x 4y3
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4
例3 设 曲 线C的 方 程 为x3 y3 3xy,求 过C上
点( 3 , 3)的切 线方程, 并证 明曲线C在该 点的法 22
线通 过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
22
y
x
y xsinx (cos x ln x sin x ) x
例6：已知 x y y x，求y.
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11
借助第三变量描写函数y(x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
ax
.
16
例8
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy
dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t ( sin t)
tan t
dt
d2y dx 2
sec 2
y
dy
dy dx
dt dx
a sint a(1 cos t )
dt
2a
a
0
a
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a
2a
x
.
15
星形线 (圆内旋轮线)
ห้องสมุดไป่ตู้
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
x
a
cos 3
.
.
–
a
y
a
sin3
0 2
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y
P
o
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
2
1.
当 t 时,
2
x
a(
2
1)
y a
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
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2
14
旋轮线或摆线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
x = a (t – sint)
y = a (1– cost)
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
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y
9
二、对数求导法
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出导数.
--------对数求导法
第四节 隐函数、参数方程 确定函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
二、对数求导法
三、参数方程确定函数的导数
四、相关变化率
五、小结 思考题
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1
一、隐函数的导数
定义: 由方程 F (x, y) 0 所确定的函数 y y(x) 称为隐函数.
例1 x2 y2 1
y 1 x2，称为显函数. 或 y 1 x2 .
解: 方程两边对x求导得
4x3 ( y xy) 4 y3 y 0
y
4x3 x
y 4y3
d (4x3 y) (x 4 y3 ) (4x3 y) d (x 4 y3 )
y dx
dx (x 4 y3 )2
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(12x2 y) ( x 4 y3 ) (4x3 y) (1 12 y2 y)
所求切线方程为 y 3 ( x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
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5
上例中 方程为 x3 y3 3xy 的曲线C的图像 .
x y 3 0.
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6
例4 设 x4 xy y4 1, 求y.
y2(
y)2
y 192x2
2020/3/25
y6
64 x 3
y3
48x3 y2 x 4y3
4x4
3
8
y4
12
y3
2 xy
8
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
求y.
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 2020/3/25 消参困难或无法消参如何求导?
12
在 方 程
x y
(t ) (t )
中,
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x), y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 方程两边对x求导,
由原方程知x 0 时, y 0,
y xy e x e y y 0
解得
dy dx
ex y x ey
,
dy dx
x0
ex y x ey
x0 y0
1.
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则——直接对方程两边求导.
隐函数的显式化
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2
例1 x2 y2 1 y 1 x2，y 1 x2
y 1 x2 y 2x
2 1 x2 y x
y
x2 y2 1 方程两边对x求导,
2x 2 yy 0
y x y
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
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3
例2 求由方程xy e x e y 0所确定的