东南大学2007年数学分析
一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题6分，共24分）
1、若数列{}n a 收敛于0，则必定存在正数α，使对一切充分大的n ，有1n a n α≤
. 2、若级数1n n a
∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛，则级数1n n n a b ∞=∑必收敛.
3、函数2
()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续.
二、计算题（每小题7分，共56分）
5
~n
ax （0x →），求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-=
-的所有渐近线. 7
、求积分1
1[ln(()]x f x dx -++⎰，其中，()f x 满足2()arcsin f x x '=，(0)0f =.
8、求幂级数21
1(1)2n
n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值.
10、设()z f u =可微，而(,)u u x y =是由方程()()x
y u u p t dt ϕ=+⎰确定的函数，
其中()p t ，()u ϕ'连续且()1u ϕ'≠，求()()z z p y p y x y
∂∂+∂∂. 11、设函数()f t 满
足()1D f t f dxdy =+⎰⎰，其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤，0a >为常数，求()f t .
12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++⎰⎰，其中S 为曲面22z x y =+（01z ≤≤），其法
向量与z 轴正向的夹角为锐角.
三、证明题（6小题，共70分）
13、（10
分）证明()f x =[)0,+∞上一致连续.
14、（12分）设()f x 在[]0,1上二次可微，且(0)(1)0f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
得()cos ()sin 0f f ξξξξ'''+=.
15、（12分）证明级数111(1)(1)n n n e n ∞
-=⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦∑条件收敛. 16、（12分）设()f t 为连续函数，证明
11()()()()1b
y b n
n a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰. 17、（12分）设(,)u x y ，(,)v x y 是D 上的连续可微函数，D 是由分段光滑闭曲线围成的平面区域，D ∂表示其正向边界.证明
D D D v u u dxdy uvdy u dxdy x
x ∂∂∂=-∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰. 18、（12分）证明积分 01cos x e xdx x
α-+∞-⎰ 关于[]0,1α∈一致收敛，并由此计算积分
01cos x e xdx x
-+∞
-⎰.。