2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析莘县实验高中赵常举邮编：252400 科目：数学试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科) 知识点检索号新课标题目及解析1 （1）设集合{}1,2,3,4U=,{}1,2,3,M={}2,3,4,N=则U=⋂（M N）（A）{}12，（B）{}23，（C）{}2，4（D）{}1，4【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求{2,3}M N =, 进而求出其补集为{}1，4.【精讲精析】选D. {2,3},(){1,4}UM N M N=∴=.4 （2）函数0)y x=≥的反函数为（A）2()4xy x R=∈（B）2(0)4xy x=≥（C）24y x=()x R∈（D）24(0)y x x=≥【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B.在函数0)y x=≥中，0y≥且反解x得24yx=，所以0)y x=≥的反函数为2(0)4xy x=≥.20 （3）设向量,a b满足||||1a b==,则2a b+=（A（B（C（D【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,a b a b⇒>>推不出P，逐项验证可选A。
29（4）若变量x，y满足约束条件63-21x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y+的最小值为（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。
然后要把握住线性目标函数=23z x y+的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。
【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y+过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.24 （5）下面四个条件中，使a b＞成立的充分而不必要的条件是（A）1a b+＞（B）1a b-＞（C）22a b＞（D）33a b＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,a b a b⇒>>推不出P，逐项验证可选A。
11 （6）设nS为等差数列{}n a的前n项和，若11a=，公差2d=，224k kS S+-=，则k=（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。
思路二：利用221k k k kS S a a+++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D.22112(21)2(21)224 5.k k k kS S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=19 （7）设函数()cos(0)f x xωω=＞，将()y f x=的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=. 40 (8) 已知直二面角l αβ--，点A ∈α，AC l ⊥,C 为垂足，点B ∈β，BD l ⊥,D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则CD =（A ） 2 （B（C（D ）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。
【精讲精析】选C. 在平面内过C 作//CM BD ，连接BM ，则四边形CMBD 是平行四边形，因为BD l ⊥，所以CM l ⊥，又AC l ⊥,ACM ∴∠就是二面角l αβ--的平面角。
90ACM ∴∠=.所以222222,AB AM MB AC BD CD =+=++代入后不难求出CD =45 (9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有222A =种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法。
6 (10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值。
【精讲精析】选A .先利用周期性，再利用奇偶性得:5111 ()()()2222 f f f-=-=-=-.42 (11)设两圆1C、2C都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C= (A)4 (B)42 (C)8 (D)82【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。
【精讲精析】选 D.由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则22(4)(1)a a a=-+-,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出1282C C=.42 (12) 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。
【精讲精析】选D.作示意图如，由圆M的面积为4π，易得222,23MA OM OA MA==-=，Rt OMN∆中，30OMN∠=。
故cos30 3.MN OM=⨯=.设圆M和圆N相交于CD，圆N的半径229413r MN MC=+=+=圆N的面积为213S rππ=⨯=故选择D45 (13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意r n rn nC C-=.【精讲精析】0. 由20120()rrT C x+=-得x的系数为220C, x9的系数为1820C,而1822020C C=.17 (14)已知a∈(π，32π)，tanα=2，则cosα= .【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。
【精讲精析】5-由a∈(π，32π)，tanα=2得cosα==39 （15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。
只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C1的平行线即可。
【精讲精析】23取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则AEM∠就是异面直线AE与BC所成的角。
在AEM∆中，222352cos2233AEM+-∠==⨯⨯。
33 (15)已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。
【精讲精析】6.由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AF MFAF AF aAF MF==-==,故2||6AF=.12 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)设等比数列{}n a的前n项和为n S,已知26,a=13630,a a+=求na和nS.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
【精讲精析】设{}n a的公比为q,由题设得1116630a qa a q=⎧⎨+=⎩解得132aq=⎧⎨=⎩或123aq=⎧⎨=⎩，当13,2a q==时，132,3(21)n nn na S-=⨯=⨯-当12,3a q ==时，123,31n n n n a S -=⨯=-.21（18）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、 c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，.【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。
（II ）在（I ）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。
【精讲精析】(I)由正弦定理得222a c b +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-。
故cos 2B =，因此45B =。
（II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯= 46 (19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【思路点拨】此题第（I ）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。
由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。
(II)第（II ）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n 次独立重复试验发生k 次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。
C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。