5.1.2黄金分割法（0.618法）
x1、x2的位置取（a，b）的0.618和 0.382处。 例题：钢中加入某种元素能够提高钢的硬 度，1吨钢中该元素的加入量在1000～ 2000g之间，如何通过试验尽快找到最佳 值？

x
1618 1382 1472 1528 ……
硬度y 6.2 7.8 8.0 7.2
y1<y2 时
说明峰不在（a，
x1）范围内再在 （x1，b）内取x3， 对应试验值y3。
y1＝y2时

说明峰在 （x1，x2） 范围内，再 在（x1，x2） 内取x3、x4， 对应试验值 y3、y4。
每次都是比较中间两点对应的y值，舍弃y 值较低的x及其相邻的边界之间的范围，n 次后y达到最优，或三次y值相差不大为止。 但是如何选点x1、x2的位置，才能用最少 的试验次数最快达到最优结果？
N
R P
W
B
单纯形法的不足：
a)移动过程中不能加速，实验次数仍然较多。 b)由于噪声存在，同一实验的不同次测定结果可 能不同，但由于基本单纯形不做重复实验，无 法区分目标值的改变，是由于固有规律引起， 还是由噪声引起，从而可能使单纯形沿错误的 方向移动。 c)运用规则五，是将一最坏值赋以超出允许范围 的顶点而强行使之回到正常范围的行为，并且 舍弃最坏点，若次坏点处的反射点处系统的响 应更差，则有可能使单纯型移不到最优区域， 此时单纯形应被迫停止，并将步长变小，在边 界处重新开始。
No. 1 2
A 0.2 0.8
B 30 38.7
C 15 23.7
D 1.5 1.9
3
4 5
0.3
0.3 0.3
67.0
38.7 38.7
23.7
52.0 23.7
1.9
1.9 3.4
黄金分割法构造初始单纯形
A1 0.1 (1.0 0.1) 0.382 0.4 A2 0.1 (1.0 0.1) 0.618 0.7 A1/ 2 0.55 B1 25 (85 25) 0.382 48 B2 25 (85 25) 0.618 62 B1/ 2 55 C1 33 D1 2.15 C2 47 D2 2.85 C1/ 2 40 D1/ 2 2.5
构造正规单纯形
设步长取因素水平范围的2/3，则aj＝（0.6，40， 40，2.0） 选初始顶点为（0.2，30，15，1.5）

ai pi ( 5 3) 0.9256ai 4 2 ai qi ( 5 1) 0.2185 ai 4 2
No.2 ( x11 p1 , x12 q2, x13 q3 , x14 q4 ) (0.2 0.9256 0.6,30 0.2185 40, 15 0.2185 40,1.5 0.2185 2) (0.8,38.7,23.7,1.9) No.3 ( x11 q1 , x12 p2, x13 q3 , x14 q4 ) (0.2 0.2185 0.6,30 0.9265 40, 15 0.2185 40,1.5 0.2185 2) (0.3,67,23.7,1.9)

5.2多因素优选法
5.2.1单因素轮换法 固定x2、x3……xn，只改变x1，按单因素 寻优法找到x1的最佳值，x1固定在最佳条 件下，改变x2，找x2的最佳……，找到xn 的最佳后，返回来再找x1的最佳…… 直到x1……xn的条件都不再改变。

5.2.2对开法

a<x<b，在(a+b)/2的位置用单因素找最大 值P， c<y<d，在(c+d)/2的位置用单因素 找最大值Q，有三种情况： P>Q,P<Q,P=Q
C C1 C1 C1 C2 C1/2 C1/2
D D1 D1 D1 D1 D2 D1/2
E E1 E1 E1 E1 E1 E2
c.根据均匀设计表构造初始单纯 形。
A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 B 2 4 1 3 5 C 3 1 4 2 5 d 4 3 2 1 5
例题

设有一光度分析体系，现需研究A：盐酸 浓度0.1-1.0mol/L,B：温度：25-85℃，C: 反应时间：10-70min，D:显色剂浓度1.04.0对该反应的影响，用上述三种方法分 别构造初始单纯形。

No. 1 2
A 0.2 0.4
B 40 60
C 40 20
D 3.0 2.5
3
4 5
0.6
0.8 1.0
30
50 70
50
30 60
2.0
1.5 3.5
5.3.2单纯形的移动



除初始单纯形外，每次单纯形的移动均是在观察各点 处的响应之后进行。 单纯形的移动是在舍弃系统的最差响应点之后进行， 有时会因此导致单纯形振荡，引入规则三。 新单纯形中若反射点为最坏点，此时将反射点保留， 将次坏点舍弃，取次坏点N 的反射点R构成新单纯形 BNR。 若某一顶点在运用规则二前得以保留，则在保留点处 重复做实验，若保留点真正接近最佳值，重复实验结 果仍较佳；若是由偶然误差引起，则结果可能降下来。 若最佳响应点靠近边界，则单纯形移动中可能超出自 变量范围。 若新的顶点超出允许范围，则将此点赋以最坏的响应 值，强迫此点回到正常范围。
结果
舍弃1618～2000，再取1000～ 1618的黄金分割点。 舍1000～1382，取1382～1618 舍1528～1618，取1382～1528 ……
5.1.3二分法
当我们做一次试验就能得到下一步试验的 方向时，可以用二分法更快地接近目标。 例：某厂生产溴樟脑，原来按1：1氯仿： 樟脑使樟脑溶解后反应，产品合格，但需 要蒸馏回收溶剂氯苯，才能使产物结晶。 故减少氯仿用量0.5：1,合格；0.25：1合 格；0.13：1合格；0.06：1溶解不完全， 所以用0.13：1投产，大大降低成本，而 且去掉了回收工序，产品自然结晶。
各因素的水平取值范围
因素 HCl (mol/L) T(℃） T（min） 显色剂 （%） 10-70 1-4
水平范围 0.1-1.0
25-85

单纯形的移动是指标最坏点W对去掉最坏点后 的重心进行反射得到R点。（链接）
1 n 1 X P Xi n i 1

若R点的响应优于N点，但差于B点的响 应， yB>yR>yN，则此时既不扩展也不压 缩，以BNR为新单纯形继续寻优。若 yR<yN，此时反射点R不能构成新单纯形， 应该压缩。


若yW<y<yN，则压缩应靠近R点处，此时 压缩点为CR,称为正压缩：CR=P+1/2(PW) 若yR<yW，压缩应靠近W处，压缩点为 CW，称为负压缩。CW=P-1/2(P-W)。若 yCW<yW，称为压缩失败，此时应将单纯 形大幅度缩小。这有可能会使单纯形过 早结束于非最优区域。
5.3单纯形法

单纯形：在n维空间里，由n+1个顶点构 成的凸多面体。若凸多面体的边长相等， 则为正规单纯形。如：二维空间的单纯形 为三角形，正规单纯形为等边三角形；三 维空间的单纯形为四面体，正规单纯形为 正四面体；n维空间内的单纯形为超四面 体。
单纯形原理
如二因素实验，首先选三个点，并比较其响应 值，响应最差的以W表示；次差的为N；最好的 记为B。P为NB的中心，称为重心。称R为W关 于P点的反射点。这种做法叫反射，将点W去掉， 得到一个新的单纯形BNR，仍按好、次坏、最 坏记为BNW重复操作。可使单纯形移向响应最 大的区域。 P=(N+B)/k k一般取2 R=P+(P-W)×α α 一般取1
(a j为步长）
n 2 x1 (x11 , x12 , x1n )
x 2 (x11 p1 , x12 q 2 , x1n q n ) x 3 (x11 q1 , x12 p 2 , x1n q n ) x n (x11 q1 , x12 q 2 , x1n p n )
第五章 优选法
5.1单因素优选法
Y＝f（x），x在（a，b）内求y的极值的 问题。但f（x）形式未知。 5.1.1来回调试法 假定f（x）在（a，b）内仅有一个峰， 取a<x1<x2<b，看试验结果，有三种情况： y1>y2、y1＝y2和y1<y2

y1>y2 时

说明峰不在 （x2，b） 范围内，再 在（a，x2） 内取x3，对 应试验值y3。

5.3.3改良单纯形法

若反射点R处系统的响应优于B点处的响 应，则说明反射方向正确，应予扩展，所 以将反射点扩展到E。顶点E的坐标： E=P+2*(P-W)。若E点处的响应优于B点处 的响应，则保留E点，构成一个新单纯形 BNE；若E点处的响应差于B点处的响应， 则扩展失败，仍以BNR为单纯形。


若yCR<yR，则舍弃单纯形BCRN，以次最 坏点N作反射R’，得到新的单纯形 BCRR’。 若yCW<yW，舍弃单纯形BCWN中的顶点 N，由N反射到R’’, 得到新的单纯形 BCwR’’
B CR W 成功收缩 CW N
R R’ 失败收缩 R’’
B
R
CR W
B CW
R
CR N
W
CW
N
5.3.4单纯形迭代的结束
No. 1 2
A 0.4 0.7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B 48 48
C 33 33
D 2.15 2.15
3
4 5
0.55
0.55 0.55
62
55 55
33