——应用零点存在性定理，用 “二分法”求方程近似解
在我们目前所学过的方程当中例如：2x-1=0； x2+2x=0；22x-8=0；lg(3x-1)=2等等都是非常理想 的方程，计算后都比较容易得出比较理想的结果。
但在实际生产生活以及科学应用中，比如航 天科技、大飞机项目、导弹研究中会产生大量的 方程，这些方程的求解不一定会有很理想的精确 结果，这就要求我们必须想方法求解方程的近似 解来代替理想的精确解.
方程ln x 2x 6 0的近似解.
y
14 12 10
8 6 4 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 －4 －6
函数f x ln x 2x 6 (精确度0.01）
列出下表：
根所在区间 （2，3） （2.5， 3） （2.5， 2.75）
区间端点函数值符号 中点值
f(2)<0, f(3)>0
零点的近似值，也即方程ln x 2x 6 0 的近似根.
二分法的定义： 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.
定义： 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近 似值的方法叫做二分法（bisection）.
这是数学上的"无限逼近思想"
例：已知函数y=f(x)在区间[1, 9]上的图象如图所示.
y
14 12 10
8 6 4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
－2
－4
－6
求函数f x ln x 2x 6的零点区间.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
辨析4：若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，则一定能够得出f(x)在 [a, b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)<0么？
（不一定）
c1
a
c2 b x
c1
c2
a
b
x
结论：函数零点存在性定理不可逆的.
学了函数零点存在性定理，除了判断零点 的存在性，还有哪些应用呢？
4.5.2 用二分法求方程的近似解
2.539 062 5 f(2.539 062 5)>0
f(2.531 25)<0, （2.531 25，2.539 062 5）f(2.539 062 5)>0
注意精确度
由于 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01
所以，可以将x 2.531 25 作为函数 f (x) ln x 2x 6
零点存在性定理的几种特殊情形
零点存在性定理的几种特殊情形
辨析1：若函数y=f(x)在区间[a, b]上不连续，但f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间(a,b)内一定没有零点么？（不一定）
c1
c2 b
a
x
a
b x
辨析2：若函数y=f(x)在区间[a, b]上连续，但f(a)·f(b)>0，则f(x)在 区间(a, b)内一定没有零点么？（不一定）
精确度ε就是最终区间的端点值之差的绝对值.
【思考】(1)所有的函数都有零点吗？
(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？
y
y
y
o
x
o
x
o
x
b
a
x
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能 用二分法求图中函数零点的是( B )
求方程2x 3x 7的近似解.
x 012345
f(x)
f (x) 2x 3x 7
f(2.5)<0 f(2.562 5)>0
2.531 25 f(2.531 25)<0
f(2.531 25)<0 （2.531 25， 2.562 5）f(2.562 5)>0
2.546 875 f(2.546 875)>0
f(2.531 25)<0 （2.531 25， 2.546 875） f(2.546 875)>0
1.二分法的定义； 2.用二分法求函数零点近似值的步骤； 3.逐步逼近思想； 4.数形结合思想； 5.近似与精确的相对统一.
什么是无限逼近思想？
《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
次数
木棰余下的部分
第一天
1
2
第二天
1 （1 ）2 42
第三天 第x 天
1 （1 ）ห้องสมุดไป่ตู้ 82
（1 ）x 2
由指数函数的性质易知随着x的增大：
(1)x 0 2
"如果对区间[0, 1]不停地减去一半， 会有怎样的结果呢？ " "区间会变成一个近似数"
c1
c2
a
b
x
a
b x
辨析3：若函数y=f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在 区间(a,b)内一定只有一个零点么？
（不一定，有几个零点不确定）
b
a
x
a
b x
思考：增加什么条件时，函数在区间(a, b)上只有一个零点？ （单调）
推论：在零点存在的条件下，如果函数在 [a , b]上具有单调性，函数f(x)在区 间[a , b]上存在唯一零点.
二分法的步骤 给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤 如下： (1)确定区间[a，b]，验证__f_(a_)_·_f_(_b_)<_0_，给定精确 度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)； ①若f(c)＝0，则__c_就__是__函__数__的__零__点_； ②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈_(a_，__c_)_； ③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈_(c_，__b_)_ (4)判断是否达到精确度ε：即若__|a_－__b_|_<_ε，则得到 零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
2.5
f(2.5)<0， f(3)>0 2.75 f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625
中点函数值符号
f(2.5)<0 f(2.75)>0
f(2.625)>0
（2.5， 2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)>0
（2.5， 2.562 5）