1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
授课人：
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【教学任务分析】
(1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和
才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.
(2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩
固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.
【教学目标】
（1）知识和技能：
掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.
(2) 过程和方法：
通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.
(3) 情感态度和价值观：
通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让
学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.
【教学重点、难点】
重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其历史背景.
难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质.
【教法、学法】
教法：问题引导、合作探究．
学法：螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想,
①从课上交流展示中感知规律；
②结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质；
③在探究证明性质中理解知识.
【教学流程】
例题及练习
【教学过程】
环节1：复习“二项式定理、二项式系数、二项展开式的通项”
【师生活动】教师提出问题，学生复习回答.
【设计意图】通过复习二项式定理的有关知识，为发现二项式系数的有关性质形成知识储备 环节2: 创设情境 引入新课
“计算()(123456)n a b ,n ,,,,,+=的展开式的二项式系数并填表” 并引入“杨辉三角”.介绍杨辉三角以及与其相关的历史
【师生活动】学生计算填表、教师介绍杨辉三角.
【设计意图】引进“杨辉三角”，并使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质 之间关系的直觉，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自 豪感和探索新知识的欲望.
环节3：合作探究 发现规律
【师生活动】学生根据杨辉三角观察讨论，发现规律，教师适时点拨、完善规律。

环节4：演绎推理 证明性质
（1） 结合组合数性质证明：
性质1 除1外的每个数都等于它“肩上”的两个数的和。

利用性质求7
)(b a +
性质2 对称性
（2） 从函数角度分析证明：二项式系数的单调性与最大值；
①借助7,6==n n 时r n C r f =)(的图像，直观感知二项式系数的对称性及单调性与最大值.
②证明r n C r f =)(的单调性，并确定最大值位置；
【师生活动】学生画图，证明结论
【设计意图】引导学生结合函数图象，理解增减性与最大值，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；学生从函数图像角度认识二项式系数的增减性与最值体会函数思想，数学结合思想。

③巩固练习
【设计意图】及时巩固对称性与增减性最值，应用二项式系数性质，加深理解。

（3） 利用赋值法证明：各二项式系数和为n 2，以及二项展开式中奇数项和等于偶数项
和
【师生活动】学生尝试证明，教师分析推理过程，并指出“给字母适当赋值，是 求解二项展开式各种系数和的一种重要方法.
巩固练习
【设计意图】巩固应用二项式系数的性质，体会“赋值法”思想的妙用，培养学生解决问题
的能力.
环节5：小结“通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？”
环节6：课堂延伸“1、探究杨辉三角中的奥妙；2、作业”.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学情分析
本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对
巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位. 通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.所以学生在学习中采用螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想,
④ 从课上交流展示中感知规律；
⑤ 结合“杨辉三角”和函数图象性质领悟二项式系数的性质；
⑥ 在探究证明性质中理解知识.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质效果分析
学生在最初的几个规律发现比较到位，从特殊到一般的推理过程显得有些吃力，也许是组合数的公式及二项式定理掌握不扎实，导致知识接受有些吃力，本节课不足之处是：驾驭课堂能力不足，让学生展示的不够充分，例如：对处理“赋值法”时，学生对二项式定理任意赋值后会得到许多结论，而此时由于课堂时间所限，未过多让学生展示自己的发现，也未敢过多拓展，如n 5有学生拆成n )41(+或是n
)32(+的展开形式，如此繁琐的式子相等，适当展示一下学生的这一结论，或许更体现赋值法在证明此类问题的巧妙！未能及时抓住教育契机，开拓学生视野，略显仓促，稍显遗憾。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教材分析
(1) “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.
(2) 本节内容以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质评测练习
“杨辉三角”与二项式系数的性质课后反思
济宁北大培文实验学校（济宁市实验中学） 叶圣陶先生曾说过：“教师之为教，不在全盘授予，而是相机诱导。

”所以，教师结合本节课的重点、难点知识，备课时力求做到“知识问题化、问题情境化”利用问题驱动学生思考，让学生参与到整个学习过程中，真正成为学习的主体。

如何设置问题才能够有效驱动学生思考，达成教学目的呢？本人认为，设置的问题应该目的明确、切合实际、环环相扣、层层深入、相辅相成；对于过于抽象的问题，应当以具体实例为切入点，对具体实例设置问题，在推广至一般得出结论。

例如：本节课一个难点是利用函数观点理解二项式系数是函数，并会判断最大值。

教学时，本人设计几个关键问题：
①r
C 6为什么可以看作是以r 为自变量的函数)(r f ？如何画出它的图像？
②当n 取确定的值时，二项式系数012r n n n n n n C ,C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可看成是以r 为自变量的函数)(r f ，它的定义域是什么？
问题①为问题②做了铺垫，便于理解r n C r f =)(是函数这个知识点。

③请你画出r C r f 7)(=的图像，并思考对比r C r f 6)(=的图像，它们的最大值取值位置
有何异同？
④二项式系数012r n n n n n n
C ,C ,C ,C ,,C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅最大值在哪里取得？ 有了问题③的铺垫，学生在解答问题④就不困难了，而且在对两个图像有了直观认识后，学生更好理解二项式系数的最大值了。

01201211111
1._______n n n n n n n n n n C C C C C C C C +++++++++=++++1351111111111
2.______C C C C ++++=2
4610111111113.______
C C C C ++++=
本节课不足之处是：驾驭课堂能力不足，让学生展示的不够充分，例如：对处理“赋值法”时，学生对二项式定理任意赋值后会得到许多结论，而此时由于课堂时间所限，未过多让学生展示自己的发现，也未敢过多拓展，如n 5有学生拆成n )41(+或是n
)32(+的展开形式，如此繁琐的式子相等，适当展示一下学生的这一结论，或许更体现赋值法在证明此类问题的巧妙！未能及时抓住教育契机，开拓学生视野，略显仓促，稍显遗憾。

“杨辉三角”与二项式系数的性质课标分析
【教学目标】
（1）知识和技能：
掌握二项式系数的性质; 会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.
(2) 过程和方法：
通过对问题的尝试、探究, 加强对学生观察、归纳、发现能力的再培养.
(3) 情感态度和价值观：
通过 “了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让
学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感.
【教学重点、难点】
重点：体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质；了解杨辉三角形及其
历史背景.
难点：结合函数图象，理解增减性与最大值时，根据n 的奇偶性确定相应的分界点；利
用赋值法证明二项式系数的性质.。