2
可知，当k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可
知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取
得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数
C
2取得最大值；
n
n1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
Cn2
、
Cn2 相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n
C1n

C
2 n
Cnn

2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm

C nm n
（2）
Cnm

C m1 n

Cm n1
（3）当 r 当r

n 1 n21
2
时， 时，
C nr Cnr

1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
C50C51C52C53C54C55
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
……
……
……
(a b)n
Cn0Cn1Cn2
r
n
C 1 n n
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
课堂练习：
1）已知 C155

a, C195
b
，那么
C10 16
=
；
2） (a b)9的展开式中，二项式系数的最大值 是；
3）若 (a b)n 的展开式中的第十项和第十一
项的二项式系数最大，则n=
；
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
图象的对称轴：r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于： C kn

n(n
1)(n 2)(n k (k 1)!

k
1)

Ck 1 n

n

k k

1
nk 1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由：n k 1 1 k n 1
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质
一、新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2

C
r n
a
nr
br


C
n n
bn
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 (律a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1
11
C10C11
(a b)2 (a b)3
121 13 31
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
14 6 41
C40C41C42C43C44
(a b)5
1 5 10 10 5 1
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn

Cnm n
得到．