几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α︒<<︒），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE ∠=︒∠=︒，，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．真题演练知识关联图例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）>．【例1】（14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB CE （1）如图1，连接BG、DG．求证：BG DE=；（2）如图2，如果正方形ABCD，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG BD=．∥，BG BD①求BDE∠的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．【例2】 （2014年西城一模） 四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

（1）如图24-1，若点E 在CB 边的延长线上，直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； （2）将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；图CBCEB图【例3】 （2015年海淀九上期末）如图1，在ABC △ 中，4BC =，以线段AB 为边作ABD △，使得AD BD =， 连接DC ，再以DC 为边作CDE △，使得DC DE =，CDE ADB α∠=∠=．（1）如图2 ，当45ABC ∠=︒且90α=︒时，用等式表示线段AD DE ，之间的数量关系；B（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ，连接BF AF ，．若90α=︒，依题意补全图3， 求线段AF 的长；请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．图2 图3 备用图图1【例4】 （13年房山一模）（1）如图1，ABC △和CDE △都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD △中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD△外部作等边ABC △、等边CDE △和等边BDF △，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．图2AFAB 图1考点2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN∠=︒，连结MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．【例2】 （2014年平谷一模）（1）如图1，点E F 、分别是正方形ABCD 的边BC CD 、上的点，45EAF ∠=︒，连接EF ， 则EF BE FD 、、之间的数量关系是：EF BE FD =+．连结BD ，交AE AF 、于点M N 、，且 MN BM DN 、、满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2）在ABC △中， AB AC =，点D E 、分别为BC 边上的两点．①如图2，当60BAC ∠=︒，30DAE ∠=︒时，BD DE EC 、、应满足的等量关系是__________________；②如图3，当BAC ∠=α，(0︒<α90)<︒，DAE ∠=α21时，BD DE EC 、、应满足的等量关系是____________________．【参考：1cos sin 22=+αα】考点3：对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）（全等型—120°） （全等型—任意角α）【例1】 四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角三角形ABD 和直角三角形CBD ，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．【例2】 已知：点P 是MON ∠的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使180APB MON ∠+∠=． （1）利用图1，求证：PA PB =；（2）如图1，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；图1图2【例3】 (初二期末)已知：如图，在ABC △中，AB AC =，BAC ∠=α，且60120α︒<<︒．P为ABC △内部一点，且PC AC =，120PCA α∠=︒-．（1）用含α的代数式表示APC ∠，得APC ∠ =_______________________； （2）求证：BAP PCB ∠=∠； （3）求PBC ∠的度数．（全能突破【练1】（2015年昌平九上期末）如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，=，AD AE∠=∠=︒，AB ACBAC DAE90=．连接BD交AE于M,连接CE交AB 于N，BD与CE交点为F，连接AF．（1）如图1，求证：BD CE⊥；（2）如图1，求证：AF是CFD∠的平分线；（3）如图2，当2∠=︒时，求CF的长.AC=，15BCE【练2】 （2014西城九上期末）已知：ABC △，DEF △都是等边三角形，M 是BC 与EF 的中点，连接AD ，BE .（1）如图1，当EF 与BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的数量关系和位置关系；（2）ABC △固定不动，将图1中的DEF 绕点M 顺时针旋转α（o 0≤α≤o 90）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；（3）△ABC 固定不动，将图1中的DEF 绕点M 旋转α（o 0≤α≤o 90）角，作DH BC ⊥于点H ．设 BH x ＝，线段AB ，BE ，ED ，DA 所围成的图形面积为S ．当6AB ＝，2DE ＝时，求S 关于x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．图2 备用图图1【练3】 （2014年朝阳一模24题）在ABC △中，AC BC =，在AED △中，AD ED =，点D 、E 分别在CA 、AB 上，（1）图①，若90ACB ADE ∠=∠=︒，则CD 与BE 的数量关系是______________；（2）若120ACB ADE ∠=∠=︒，将AED △绕点A 旋转至如图②所示的位置，则CD 与BE 的数量关系是______________；（3）若2(090)ACB ADE αα∠=∠=<<︒，将AED △绕点A 旋转至如图③所示的位置，探究线段CD 与BE 的数量关系，并加以证明（用含α的式子表示）【练4】 （2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝，点，E 在边BC 上，45DAE ∠︒＝．若3BD ＝，1CE ＝，求DE 的长．D 小辉发现，将绕点A 按逆时针方向旋转90o ，得到ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及45DAE ∠︒＝，可证FAE DAE ≌，得FE DE ＝．解FCE ，可求得EF (即DE )的长． 请回答：在图2中，FCE ∠的度数是__________，DE 的长为_______Rt ABC ____．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD ＝，180B D ∠∠︒＋＝．E F ，分别是边BC CD ，上的点，且12EAF BAD ∠∠＝．猜想线段BE EF FD ，，之间的数量关系并说明理由．【练5】 （11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD 中，AC ,BD 为对角线，将BAC ∠绕顶点A 逆时 针旋转α(045α<<)，旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC ,CD 于点E 、点F ，联结EF 、EQ ．图1 AB CD E图2 FA B C D E 图3E F D A B C（1）在BAC ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ ∆与AEF ∆的面积的数量关系，写出结论并加以证明．【练6】 （2015年延庆九上期末）已知：ABC △是O 的内接三角形，AB AC =，在BAC∠所对弧AC 上，任取一点D ，连接AD BD CD ，，，（1）如图1，BAC α∠=，直接写出ADB ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，如果∠60BAC =︒，求证：BD CD AD +=；（3）如图3，如果∠120BAC =︒，那么BD CD +与AD 之间的数量关系是什么写出猜测并加以证明；（4）如果BAC α∠=，直接写出BD CD +与AD 之间的数量关系.图1 图2 图3【练7】 （1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点， 且12EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;(2) 如图在四边形ABCD 中，180AB AD B+D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，分别是边BC CD ，延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【练8】 小华遇到这样一个问题，如图1, ABC 中，ACB ∠=30o ，65BC AC ==，，在ABC 内部有一点P ，连接PA PB PC 、、，求PA PB PC ++的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC 绕点C 顺时针旋转60o ，得到EDC ，连接PD BE 、，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA PB PC ++的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，ABC ∠=60o ，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA PB PC ++最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA PB PC ++值最小时PB 的长．【练9】在ABC ，∠于点D ．（1）如图1，若ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若60ABE ∠=︒，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；【练10】 (2014年1月西城八年级期末试题—附加题) 已知：如图，MAN ∠为锐角，AD 平分MAN ∠，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上， AB AC =.（1）若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线AD 于点G ，求证：EBF CAG ∠=∠；（2）若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想EBF ∠与CAG ∠的数量关系并证明你的结论.【练11】 （2014海淀一模）在ABC △中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD ，BD ．（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=︒时，CBD ∠的大小为__________；（2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求M 的大小；（3）已知BAC ∠的大小为m （60120m ︒<<︒），若M 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．1、旋转的基本模型特征2、费马点问题3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线4、线段旋转的特点 小结与复习图2 D C B A 图1AB C。