海森堡矩阵力学的创立
20世纪20年代初，为量子论创立做出过杰出贡献 的主要有3个研究中心：德国的慕尼黑大学（索末 菲）、哥廷根大学（普朗克、玻恩）以及丹麦的哥本 哈根大学（玻尔及哥本哈根学派）。这三个研究中心 是当时各国物理学研究者向往的“圣地”。海森堡有 幸在这3个研究中心都曾经学习、工作过，受到多位 名师的悉心指导。他后来曾说："在索末菲那里学了物 理，玻恩那里学了数学，玻尔那里学了哲学。"
但是当时的物理学家几乎都不熟悉矩阵运算，因此这 方面的困难重重。几天后，玻恩见到两年前的助手泡 利，表示希望他来同自己合作攻下这个难题，出乎意 料的是，已经由于提出“不相容原理”等贡献而变得 出名的泡利反应冷淡。一次偶然的机会，玻恩遇见了 年轻的数学家约丹，请求合作。约丹正是这方面的内 行，欣然应允。1925年9月，玻恩和约丹联名发表了 《论量子力学》一文。在这篇文章中,他们不仅采用了 海森堡的方式,把广义坐标q 和广义动量p 用矩阵表示, 而且从量子化条件出发,利用对应原理,得出q 和p 的 对易关系（称为“强量子条件” ）为
海森堡甚至对玻尔的旧量子论提出了怀疑, 他指出 “ …电子的周期性轨道可能根本就不存在。直接观 测到的, 不过是分立的定态能量和谱线强度, 也许还 有相应的振幅与相位, 但绝不是电子的轨道。唯一的 出路是建立新型的力学, 其中分立的定态概念是基本 的, 而电子轨道概念看来是应当抛弃的。” 因此，基于上述原则，海森堡在论文中只考虑了 光谱线频率和决定谱线强度的振幅等可观察量。
振子（黑体的分子、原子）辐射或吸收能量时， 只能是能量子的整数倍，或者振子的能量是一份一 份的辐射或吸收，即振子能量变化也是不连续的。
经典物理学的信条之一就是一切过程和一切物理 量都是连续的，连续性又是微积分的核心思想，而 微积分是处理物理问题的基本数学工具。微积分的 发明人莱布尼兹(1646年－1716年)曾明确指出：如果我 们对连续性原理提出疑问，那么世界将会出现许多 间隙，而这条间隙就会将这条具有充分理由的普遍 原理推翻，结果迫使我们不得不乞求奇迹或纯粹的 机遇来解释自然现象了。普朗克引入不连续的能量 子突破了经典物理的连续性原理。正是这一点被认 为是量子物理学诞生的标志！
机会很快来了。同年冬天，索末菲要去美国作 一个学期的访问，商量好了让海森堡去哥廷根大学 跟玻恩学习一段时间。1922年10月底海森堡来到 哥廷根，玻恩的研究小组是个数理大师云集的地方。 在玻恩的指导下，海森堡主要从事利用微扰论计算 氦原子的能量，但是理论计算和实验不符。这促使 海森堡和玻恩决心对玻尔的原子理论动大手术，为 日后创立矩阵力学埋下了伏笔。
n, n ,n
A n An ,n
（量子跃迁振幅）
对应之后，得到量子论中电子坐标的傅里叶级数：
x t
A


n ,n
e
in , n t
（这个式子中只 出现可观察量频 率和振幅）
因此在量子论中，坐标的所有傅里叶分量
A
量子物理学发展的历史回顾
本讲简要回顾 量子物理学产 生、发展到完 善过程中一些 标志性事件和 代表人物，试 图给出量子力 学理论体系的 发展脉络。
量子物理学的发展大致可以分为旧量子论时期、 量子力学的创建与完善时期和量子力学向纵深发展 三个阶段。
一、初级阶段----旧量子论时期 (1900-1924)
1923年3月，海森堡重新回到慕尼黑大学继续完 成学业，7月份通过了博士学位的答辩。在答辩会 上，答辩委员会主席，早已获得若贝尔奖的物理学 家维恩提出了一个又一个与论文无多大关系的问题， 海森堡都未能给出满意的回答。尽管答辩不理想， 玻恩仍然希望海森堡拿到博士学位后，去做他的助 手，接替已经离开的泡利（去了玻尔那里）。因此， 拿到博士学位之后，海森堡又到了哥廷根，做了玻 恩的助手。在哥廷根期间，1924年春到1925年4月， 海森堡去了哥本哈根大学玻尔的研究所，做一年的 访问学者。在这里海森堡有机会聆听玻尔的教诲， 并同克拉默斯合作研究光的色散问题。
当海森堡发现这种奇怪的不对易的乘法关系之后 深感不安，他坦率地承认："xy不等于yx这一事实， 当时对我来说是很讨厌的。我认为在整个方案中这 是惟一的困难，否则我将非常快活。"玻恩开始也难 以理解海森堡的乘法规则，经过几天的冥思苦想， 他想起这正是大学时学过的矩阵的乘法运算规则， 从而认出海森堡的数集就是矩阵元。他认识到了海 森堡论文的重要性，立即推荐到《物理杂志》予以 发表。当时海森堡已到英国剑桥访问去了，玻恩即 刻着手运用矩阵方法为海森堡的理论建立严密的数 学基础。
这里A为振幅，为角频率，且 n, n 在量子论中，角频率由下式给出：
n ,n
En En
(i.e.量子态n态到n- 态的跃迁频率)
根据对应原理,经典量ω(n ,α) , Aα(n) 和量子论的量 ωn ,n - α, An ,n - α相互对应：
n ,n
, 1, 2,3,...
代表一个二维的数集。
即量子论中的力学量x与一个二维数集{xmn}对应， 这个数集其实就是令海森堡困惑的“矩阵”。 动量p=dx/dt，因此量子论中的动量也和一个 二维数集{pmn}，即矩阵对应。进一步,描写电子运 动的其他力学量，如动能、角动量等都可以写成x 和p的函数，因此，量子论中的力学量用一个二维 数集（矩阵）表示；而且力学量之间的乘法关系 不可对易： xy yx （海森堡乘法规则）
1905年，A.爱因斯坦提 出光量子（光子）假说，成 功的解释了光电效应，在此 基础上，于1909年进一步提 出光的波粒二象性理论。
1913年，N.玻尔(18851962)提出定态跃迁假设， 建立了原子中电子运动的量 子理论，成功解释了氢原子 光谱结构。
量子物理学的三大最基本的假设 能量量子化、 微观粒子具有波粒二象性以及微观粒子状态变化具 有定态跃迁性质； 普朗克、爱因斯坦、玻尔也因此被公认为旧量 子论之父。
这一时期标志性事件和代表人物： 1900年，为了解决黑体辐 射问题，M.普朗克（18581947）提出能量量子化假说， 开创了量子论时代。
（1900） （1893）
普朗克的观点：
组成黑体的分子、原子视为一系列的电磁振子， 振子的能量不连续分布，只能取某一最小能量值 （称为能量子）的整数倍；
例如，当量子数很大时，原子中电子的相邻轨道比 较接近，它们的绕转频率几乎相同，根据经典电动 力学，这时发光频率应当等于电子的绕转频率。这 种量子数很大，且以普朗克常数h表征的分立效应 不明显而接近连续的极限时，应当适用经典物理学 的描述。 对应原理一直是以玻尔为首的哥本哈根学派的 一重要的个指导思想，至今也是量子力学中的一 个指导性原则**，正是在对应原理的指引下，在 1925年的夏天，海森堡创建了量子力学的第一种 数学程式---矩阵力学。
武汉理工大学物理系 刘子龙
推荐教材：
《量子力学教程》，曾谨言著，科学出版社（北京
大学出版社），2004年2月
参考书目：
周世勋，《量子力学教程》，高等教育出版社，2004年 苏汝铿，《量子力学》，高等教育出版社，2002年 张永德，《量子力学》，科学出版社，2002年 金尚年，《量子力学的物理基础和哲学背景》，复旦大学出 版社，2007年 关洪，《一代神话—哥本哈根学子问题时提出来的。 在大量子数极限下，量子理论的结果应当趋近于经典 物理学的结果，或者说“量子理论和经典理论有形式 上的相似”。 ---对应原理
量子力学理论可以成功的描述微观世界的物体（例如原子 以及基本粒子），而宏观的物体（例如弹簧、电阻等）则可以 用经典力学和经典电动力学所描述。矛盾在于，同一个物理世 界，仅仅因为物体大小的不同，就需要不同的两个理论来描述， 这显然是荒谬的。这一矛盾就是玻尔阐述对应原理的初衷，即 在系统“大”的情况下，经典物理学可以认为是量子物理学的 一个近似。
关于黑体辐射、光电效应以及玻尔的氢原子理论的 详细介绍参见《大学物理学》
二、高级阶段--量子力学建立与完善期(1925-1930)
两条独立主线： 一条主线是追随玻尔的定态跃迁理论和1916年 玻尔提出的对应原理**，将其应用范围由氢原子扩 展到复杂原子体系，最终导致1925年海森堡矩阵 力学形式的量子力学的建立； 另一条主线是沿着爱因斯坦光的波粒二象性理 论发展，直接导致1924德布罗意的物质波理论以 及1926年薛定谔波动力学（以薛定谔方程为代表） 形式的量子力学的诞生；
1925年5月，海森堡因患季节性的花粉过敏症向玻 恩请假半个月，到北海的赫尔兰岛疗养，在这里海森 堡开始反思玻尔的旧量子论所面临的困境：玻尔的量 子论中仍然保留了像电子轨道（不可观测量）这样的 经典图象，有些地方还需要运用经典物理学定律---对 应原理的使用，表明玻尔的理论远不是完善的理论， 在解决进一步的问题时，还需要回过头来依靠经典物 理学的拐杖，因此玻尔的量子论只能是经典力学和新 的动力学—量子力学之间的过渡理论。海森堡突然想 起了爱因斯坦的一句话：“当物理学家试图解决原则 性难题时，必须考虑的是可观察量。”终于有了灵感， 他提出了一套全新的解决办法，并把他的想法整理成 论文--矩阵力学的开山之作--《论运动学与力学关系的 量子理论再解释》，提交给了玻恩。
② 对应原理 把原子作为周期系统来分析, 其运 动状态就可以用傅立叶级数描述为一系列谐振子的 运动的迭加。在经典力学中，电子坐标x(t)的傅里 叶级数表示：
x n, t



A n e
i n t




A n e
i n , t
pq qp
I （I为单位矩阵） i
1925年底，玻恩、约丹和海森堡合作发表论 文《关于量子力学Ⅱ》，把以前的结果推广到多自 由度和有简并的情况，系统地论述了本征值问题、 定态微扰和含时间的定态微扰，导出了动量和角动 量守恒定律，以及强度公式和选择定则，还讨论了 塞曼效应等问题，从而奠定了量子力学的基础。文 章全面阐述了矩阵力学的原理与方法，宣告新的量 子力学—矩阵力学诞生了。