[解析] 把这个圆柱平均分成 5 段，将其中一段沿一条高剪 开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长 4 尺， 另一条边长 3 尺，因此这一段葛藤长 42＋32＝5(尺)．故葛 藤的总长为 5×5＝25(尺)．
4．[2018·南宁期末] 如图 1－ZT－4，一只蚂蚁从棱长为 4 cm 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它爬行的最 短路线的长是___4_5____cm.
2．如图 1－ZT－2，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是斜边 BC 上的中点，E，F 分别为 AB，AC 上的点，且 DE⊥DF. (1)若设 BE＝a，CF＝b，且 a－12＋|b－5|＝ m－2＋ 2－m， 求 BE 及 CF 的长； (2)求证：BE2＋CF2＝EF2.
图1－ZT－2

类型四 利用勾股定理解决实际问题
7．如图 1－ZT－7，A 市气象站测得台风中心在 A 市 正东方向 300 千米的 B 处，以 10 7千米/时的速度向 北偏西 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米范 围内是受台风影响的区域． (1)A 市是否会受到台风的影响？请说明理由； (2)如果 A 市会受到这次台风的影响，那么受台风影响 的时间有多长？
图1－ZT－5
[解析] BC＝ AC2－AB2＝4. 由折叠的性质，得 BE＝B′E，AB＝AB′. 设 BE＝x，则 B′E＝x，CE＝4－x， B′C＝AC－AB′＝AC－AB＝2. 在 Rt△B′EC 中，B′E2＋B′C2＝CE2， 即 x2＋22＝(4－x)2， 解得 x＝23.
6．[2018·重庆] 如图 1－ZT－6，把三角形纸片折叠，使点 B， 点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG，得到∠AGE＝30°， 若 AE＝EG＝2 3厘米，则△ABC 的边 BC 的长为_(_4_3_＋__6_) _ 厘米．
图 1－ZT－6
[解析] 过点 E 作 EM⊥AG 于点 M，则由 AE＝EG，得 AG＝2MG. ∵∠AGE＝30°，EG＝2 3厘米， ∴EM＝21EG＝ 3(厘米)． 在 Rt△EMG 中，由勾股定理，得 MG＝ （2 3）2－（ 3）2＝3(厘米)， ∴AG＝6 厘米． 由折叠可知，BE＝AE＝2 3厘米，GC＝AG＝6 厘米， ∴BC＝BE＋EG＋GC＝2 3＋2 3＋6＝(4 3＋6)厘米．
专题训练利用勾股定理 解决问题
2020/9/4
类型一 利用勾股定理解决平面图形问题
1．如图 1－ZT－1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平 分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则 CD＝____3____．
图1－ZT－1
[解析] 如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10. ∵AD 平分∠CAB，∴CD＝DE， ∴S△ABC＝12AC·CD＋12AB·DE＝12AC·BC， 即12×6·CD＋21×10·CD＝12×6×8， 解得 CD＝3.
图1－ZT－7
[解析] ∵展开后由勾股定理得： AB2＝42＋(4＋4)2＝80， ∴AB＝4 5 cm.
图1－ZT－4
类型三 利用勾股定理解决折叠问题
5．如图 1－ZT－5，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3， AC＝5，点 E 在 BC 上，将△ABC 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC
3
边上的点 B′处，则 BE 的长为___2_____．
m－2≥0， 解：(1)由题意得2－m≥0，解得 m＝2，则 a－12＋|b－5|＝0， ∴a－12＝0，b－5＝0，∴a＝12，b＝5，即 BE＝12，CF＝5. (2)证明：延长 ED 到点 P，使 DP＝DE，连接 FP，CP. 在△BED 和△CPD 中，DE＝DP，∠EDB＝∠PDC，BD＝CD， ∴△BED≌△CPD(SAS)， ∴BE＝CP，∠B＝∠DCP.
在△EDF 和△PDF 中，DE＝DP，∠EDF＝∠PDF＝90°，DF＝DF， ∴△EDF≌△PDF(SAS)，∴EF＝PF. ∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°， ∴∠B＋∠ACB＝90°， ∴∠ACB＋∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°. 在 Rt△FCP 中，根据勾股定理，得 CP2＋CF2＝PF2. ∵BE＝CP，PF＝EF， ∴BE2＋CF2＝EF2.
类型二 利用勾股定理解决立体图形问题
3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上， 高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶， 问葛藤之长几何．”题意是：如图 1－ZT－3 所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕 图1－ZT－3 五周后其末端恰好到达点 B 处，则葛藤的最短长度是 ____2_5___尺．