第六章 习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221≤=+x x ，因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：12112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

解：（1）312112(,,)(1)L x x x x x λλ⎡⎤=+---⎣⎦一阶必要条件为：211231231213(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪=-=⎨∂⎪⎪⎡⎤---=⎣⎦⎪≥---≥⎪⎩不符合K-T 条件。

（2）此时，31200112(,,,)(1)L x x x x x λλλλ⎡⎤=+-+⎣⎦一阶必要条件为：201123123123(1)00(1)00,(1)0L x x L x x x x x λλλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪⎪==⎨∂⎪⎪⎡⎤-+=⎣⎦⎪≥-+≥⎪⎩ 当00λλ==时，符合K-T 条件7．消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为2121),(x x x x U =假设消费者的收入为12元，两种商品价格分别为2,121==p p 。

试求最优的商品组合。

解：由题意知，112212212P x P x x x +=+≤1212(,,)(212)L x x x x λλ=+-一阶必要条件为：121212020(212)00,212L x L x x x x x λλλλ⎧∂==⎪∂⎪⎪⎪∂=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎪⎩解得126,3,x x λ=== 8．求解消费者问题Mx p x p t s x x x U ≤++=221121..ln )(max α效用极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。

解：12121122(,,)ln ()L x x x x p x p x M λαλ=+-+- 一阶必要条件为：112221122112210()00,Lp x L p x x p x p x M p x p x Mλαλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1121211,,M p x x p p p ααλ=-== 1222120000p H p x p p α⎛⎫- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭验证其为负定。

9．一个消费者生活在小岛上，那里只生产两种产品，x 和y ，生产可能前沿是20022≤+y x ，他消费所有的产品，她的效用函数是3xy U =，这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束，约束条件是20x y +≤ （1）写出库恩—塔克一阶条件（2）求消费者最优的x 和y ，确定约束条件是否发挥限制作用。

解：（1）32211212(,,,)(200)(20)L x y xy x y x y λλλλ=-+--+-K-T 一阶条件为：31221222212221220320(200)0(20)0,0,2000200L y x xL xy y x x y x y x y x y λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=--≥⎪∂⎪⎨+-=⎪+-=⎪⎪≥+-≤⎪⎪+-≤⎩ （2）假设第二个约束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补松弛性得20λ=，故有312122120320(200)0y x xy y x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得1x y λ===20x y +≤故为K-T 条件最终解。

反之21λ=32222030(20)0y xy x y λλλ⎧-=⎪-=⎨⎪+-=⎩解得25,15,3375x y λ===，因22200x y +>故被拒绝。

10．一家电子公司在外国设立一个发电站。

现在需要规划其产能。

电力需求的高峰时段的需求函数是11400Q P -=,非高峰时段的需求函数是22380Q P -=。

变动成本是20（两个市场都要支付），产能成本是每单位10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。

（1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。

（2）求出这个问题中的最优产量和产能。

（3）每个市场分别能支付多少（即1λ和2λ的值是多少）（4）现在假设产能成本是每单位30（只需要支付一次）。

求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用（即1λ和2λ）。

11．给定最优化问题⎩⎨⎧>=≥=0,x ,,2,1)(s.t.)min m i r x G F(x y i i（1） 为了得到可应用的极大化的充分条件，哪些凹—凸条件需要追加在F 和i G 上？ （2） 论述极小化问题的库恩—塔克条件。

解：（1）对于极大化问题，存在下列充分条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(max n i x m j b g t s f y i j jx x 如果满足：a.目标函数)(x f 为凹函数且可微；b.每个约束函数)(x jg 为凸函数且可微；c.点*x 满足库恩—塔克极大化条件。

则点*x 为目标函数()y f =x 的整体极大值点。

对于极小化问题，存在下列充分条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=),,2,1(,0),,2,1(,)(..)(min n i x m j b g t s f y i j j x x 如果满足：a.目标函数()f x 为凸函数且可微；b.每个约束函数)(x j g 为凹函数且可微； C.点*x 满足库恩—塔克极小化条件。

（2）构造拉格朗日函数])([)(),(1i mi i i r x G x f x L --=∑=λλ，如果若*x 为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数0λ≥*使得）（**λ,x 满足库恩—塔克必要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂≥≤∂∂=∂∂≥≥∂∂************mi x L x L x x L x x x x L ii i i ,,2,10),(00),(0),(00),( λλλλλλλλ12．对于下面问题，库恩—塔克充分性定理是否适用（1）⎩⎨⎧≥≥+-+-=0,4..)4()3(min 21212221x x x x t s x x y ，（2）⎩⎨⎧≥≥+-+=0,04..2 min 21212121x x x x x t s x x y 13．考虑如下模型⎩⎨⎧≥≥≥++=0,02..min 21212221x x x x t s x x y （a ）库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗？（b ）写出库恩—塔克条件，并求解最优值（**21,x x ）。