14场论初步在空间或空间的一部分V 上分布着某一物理量，V 就构成一个场，在生理学中有各种不同的场，如物体的温度场，大气压力场，空间的引力场，流体的速度场等，一般来说，场可分为两类：数量场，如密度场、温度场；向量场，如引力场、速度场等，尽管每种场都有各自的物理特性，但是在数量关系上各类场都有相同的数学形式。

一、梯度设三维欧氏空间的有界体V 是一个数量场，即在V 上定义一个三元函数),,(z y x f ，且函数),,(z y x f 在V 上存在所有定义 向量k zf j y f i x f z f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂)(称为函数（数量场）),,(z y x f 在点),,(z y x P 的梯度，记为)(P gradf ，即=)(P gradf ),,(zfy f x f ∂∂∂∂∂∂ 由此可见，数量场的梯度是一个向量场（梯度向量场）如果l 是过点P 的射线，l 的方向余弦是γβαcos ,cos ,cos ，由10.3定理5，函数),,(z y x f 在点P 沿射线l 的方向导数γβαc o s c o s c o s zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 已知)cos ,cos ,(cos γβα=l 是射线l 的单位向量，由向量内积公式，有∙∂∂∂∂∂∂=∂∂),,(zfy f x f l f l P gradf ∙=)()cos ,cos ,(cos γβα =,cos )(cos )(θθP gradf l P gradf =其中θ是在点P 的梯度向量)(P gradf 与单位向量l 之间的夹角，如图14.30由（1）式不难看到，仅当0=θ时，即单位向量l （也就是射线l ）的方向与梯度)(P gradf 的方向一致时，方向导数lf∂∂才能取到最大值，换句话说，梯度的方向就是函数),,(z y x f 在点P 变化率最快（或最大）的方向，再从等值面看梯度，如果三元函数),,(z y x f 的所有偏导数在V 连续，V 中的曲面 )(),,(常数C z y x f =称为等值面，例如，气象学中的等温面、等压面等都是等值面的原型，函数222),,(z y x z y x f ++=的等值面C z y x =++222（任意0≥C ） 是以原点为球心的一族同心球面，过场中的每个点只有一个等值面，显然，等值面彼此不相交，数量场),,(z y x f 过点),,(0000z y x P 有一个等值面，由11.4的（4）式，等值面在点0P 的法线方程是zP f z z y P f y y x P f x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-)()()(000000于是，等值面法线的方向向量就是梯度 ),)(,)(,)(()(0000zP f y P f x P f P gradf ∂∂∂∂∂∂= 即数量场),,(z y x f 在点0P 的梯度方向就是过点0P 的等值面的法线方向，由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，例如，已知物体V 上任意一点P 的温度是)(P f ，即物体V 是一个温度场，若物体V 中有的点温度高有的点温度低，则V 中就有热的流动，那么在一点),,(0000z y x P ，热沿着哪个方向流动最快呢？通过对梯度的讨论我们知道，热沿着梯度方向，也就是过点0P 的等值面的法线方向流动最快，因为热是由温度高处流向温度低处，而梯度方向是由数值较小的等值面指向数值较大的等值面，所以热沿着点)(0P gradf -流动最快。

例1 计算电势场（数量场）222zy x e U ++=在点),,(z y x 的梯度，其中e 是单位正电荷。

解 为了书写简便，设 222z y x r ++=，有32rexr x r e x U -=-=∂∂ 同样有3r eyy U -=∂∂， 3rezz U -=∂∂ 于是，)(3zk yj xi re k z U j y U i x U gradU ++-=∂∂+∂∂+∂∂=已知单位正电荷e 产生的电场强度是 ),(3zk yj xi reE ++= 即,g r a d U E -=由此可见，电场的强度等于电势的梯度，即 gradU E -=，而电场强度的方向与电势梯度的方向相反。

由梯度的定义，不难证明，梯度有下列性质：1：;)(gradv gradu v u grad +=+ 2：;)(ugradvvgradu uv grad += 3：gradu u f u gradf )()('=二、散度设有稳定流体速度场)(P A ，场内有一光滑曲面S ，由14.2第二段知，在单位时间内，流体速度场)(P A 通过曲面S 的流量σnd P A Q S∙=⎰⎰)(其中n 是曲面S 的外法线的单位向量，如果S 是闭曲面， σnd P A Q s⎰⎰=)(表示在单位时间内通过闭曲面S 的流量，通过闭曲面S 的流量Q 是流出量（+）和流入量（—）两者之差（注意，S 的外法线方向为正），可能有下列三种情况： 1）0>Q ，即流出量大于流入量，这时S 内有“源”。

1）0<Q ，即流出量小于流入量，这时S 内有“洞”。

1）0=Q ，即流出量等于流入量，这时S 内可能既无“源”也无“洞”，也可能既有“源”又有“洞”，而“源”与“洞”的流量相互抵消。

为了讨论流体速度场)(P A 在闭曲面S 内“某一点P 的流量”，首先讨论通过闭曲面S 的平均流量（平均散度）σnd P A V V Q SSS ∙=⎰⎰)(1，其中S V 是闭曲面S 围成有界体V 的体积。

定义 设有向场)(P A ，在场内取包含P 的光滑闭曲面S ，设S 围成有界体V 的体积是S V ，若当P S →（闭曲面S 收缩为一点P ）时，极限σnd P A V SSP S ∙⎰⎰→)(1lim存在（而与P S →的方式无关），称此极限是向量场)(P A 在点),,(z y x P 的散度，记为)(P divA ，即=)(P divA σnd P A V SSP S ∙⎰⎰→)(1lim由此可见，向量场的散度是一个数量场。

当0)(>P divA 时，表明点P 是“源”，其值表示源的强度；当0)(<P divA 时，表明点P 是“洞”，其绝对值表示洞的强度；当0)(=P divA 时，表明点 既不是“源”也不是“洞”。

用散度定义计算散度很麻烦，下面有（2）式的计算公式，根据奥-高公式和三重积分的中值定理（设向量场)(P A 满足公式和定理的条件），有=)(P divA σnd P A V SSP S ∙⎰⎰→)(1lim=dxdy P A dzdx P A dydz P A V zySxSP S )()()(1lim++⎰⎰→=dxdydz z P A y P A x P A V Vz y x SP S ⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂→))()()((1lim=S z y x SP S V z P A y P A x P A V ∙∂∂+∂∂+∂∂→))()()((1lim=))()()((lim zP A y P A x P A z y x PS ∂∂+∂∂+∂∂→其中S V 是有界体V 的体积，点V Q ∈，当P S →时，P Q →，有=)(P divA zP A y P A x P A z y x ∂∂+∂∂+∂∂)()()( 或简写为zA y A x A divA zy x ∂∂+∂∂+∂∂= 由（3）式可将奥-高公式⎰⎰++Sz y xd z n A y n A x n Aσ)],cos(),cos(),cos([=dxdydz zA y A x A zy x V)(∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰表为向量形式ivAdxdydzd nd A VS⎰⎰⎰⎰⎰=∙σ于是，奥斯-高公式的物理意义是，向量场A 通过闭曲面S 的总流量等于闭曲面S 所围成有界体V 的每一点散度的总和（即V 的三重积分）.例 2 设在坐标原点有点电荷q ，在它周围形成电场，场内任意点),,(z y x P 的电场强度（向量）是02r r q E =, 其中r 是点P 到原点的距离，即222z y x r ++=， 是线段OP 上的单位向量，即)(10zk yj xi rr r r ++==，计算 1）电场强度E 在点P 的强度；2）通过以原)(10zk yj xi r r r r ++==点为球心，以R 为半径球面的流量（电通量）；解 1）已知 )(3zk yj xi r qE ++= ，即3r x q E x =, 3r y q E y =, 3rzq E z =有,r x x r =∂∂ ,r y y r =∂∂,rz z r =∂∂52262333r x r q r x rr x r q xE x-=∂∂-=∂∂同样，,3522ry r q y E y-=∂∂ ,3522r z r q z E z -=∂∂ 于是，zP A y P A x P A P d i v E z y x ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()( 033)(3352252222=-=++-=rr r q r z y x r q即除原点外，场中任意点的散度皆为0，既不是“源”也不是“洞”。

2）作以原点为球心，以R 为半径的球面S ，通过S 的电通量⎰⎰∙=Se nd E P σ因为E 的方向（从原点出发的射线）与n （球面外法线单位向量）的方向一致，即夹角为 0，由向量的内积公式，有 σσσd E d E nd E P SSSe ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==∙=0cos在球面S 上，R r =，有 .2202R q r q r r q E E ==== 于是，⎰⎰⎰⎰⎰⎰===SSSe d R qd R q Ed P σσσ22.4422q R Rq ππ==由（3）式不难证明散度的下列性质： 1.,)(divB divA B A div +=+2. ,)(ξξξgrad A divA A div ∙+= （其中 是数量场）。

只给出性质2的证明，由（3）式，有)()()()(z y x A zA y A x A div ϕϕϕϕ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕzA A z y A A y x A A x z x y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂++∂∂+∂∂=)(zA y A x A z y x ϕx y x A z A y A x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ ϕϕgrad A divA ∙+=三、旋度在向量场中，比如河流中，常常出现涡旋现象，在涡旋附近水绕着涡旋中心轴旋转，我们设想有一自由转动的叶轮，将叶轮的轴放在涡旋的中心。

不难想象，叶轮旋转的快慢，一方面与每一点的流速有关；另一方面与叶轮安放位置或叶轮轴的方向有关，因而，描述向量场中一点的涡旋要用向量。