( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
51
亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中：
Fcurl 0 F Fgrad
其中， cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
27
梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
Fgrad 0 F Fcurl
52
亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
53
应掌握内容

三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系；
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
43
环量面密度
d 1 lim dS S 0 S

L
A dl
取不同的路径，其环 量面密度不同。
44
引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况，是一个“宏观”的物理量， 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向，应如何考虑？
其中， el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量；
u u u ex ey ez 定义梯度：gradu x y z
28
标量场梯度的特点




标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的 函数； 梯度各坐标轴上的分量分别代表u在该坐标 轴上的变化率。 梯度的大小为该点标量函数的最大变化率， 即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即 与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数 的增加方向。

标量（Scalar）是只有大小的物理量（可 以包括相位），例如：电压，电流，电 荷量，能量，温度 矢量（Vector）是同时具有大小（可以 包括相位）和方向的物理量， 例如：速 度，电场强度，磁场强度
4

矢量的模和单位矢量


矢量的大小用绝对值表示，叫做矢量的 模。 模为1的矢量叫作单位矢量，用e表示。 如ex、 ey、 ez分别表示与x、y、z三个坐 标同方向的单位矢量。
三个计算方法：梯度、散度和旋度的计 算方法； 三个重要定理：散度定理、旋度定理和 亥姆霍兹定理。
54


作 业（1）


1.求矢量场A=xex+yey+zez经过点M（1， 2，3）的矢量线方程。 2.设有标量场u=2xy-z2，求u在点（2，1，1）处沿该点至点（3，1，-1）方 向的方向导数。在点（2，-1，1）沿 什么方向的方向导数达到最大？其值 是多少？
12

直角坐标系
13
场分量与单位向量
14
圆柱坐标系
15
圆柱坐标与直角坐标的转换
16
球坐标系
17
场的等值面和矢量线

标量场和矢量场的基本概念 标量场的等值面 矢量场的矢量线
18
标量场和矢量场

从场的空间特性来看，
场是一个标量或
一个矢量的位置函数，场中任一点都有 一个确定的标量值或矢量值与之对应。
29
电位场的梯度（例）
电位场梯度特点



与过该点的等位线 垂直； 数值等于该点的最 大方向导数； 指向电位增加的方 向。
30
利用梯度求方向导数

根据矢量点积的定义，梯度在l方向上的投影， 即为u在l方向上的方向导数。 设梯度的方向沿en方向，那么， u在en方向 的方向导数为
u gradu en gradu en en gradu n
45
矢量旋度
类比梯度和方向导数之间关系，定义旋度矢 量，其模值等于环量面密度的最大值；方向 为最大环量面密度的方向。
rot A A
它与环量面密度的关系为
d rot A en dS
46
旋度的说明

矢量的旋度仍为矢量，为微分量，其是空间 坐标点的函数；旋度的大小是该点环量面密 度的最大值；旋度的方向是该点最大环量面 密度的方向； 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或 涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；若矢量 场处处A=0，称之为无旋场。
5
矢量的表示法

在正交坐标系如直角坐标系中，矢量可 以用坐标来表示。则从O指向终点P的 矢量A可以表示为：
A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez

矢量A的模：
A A A A
2 x 2 y
2 z
6
矢量的加减法

A( x, y, z) Axex Ay ey Az ez 设 则： B( x, y, z) Bxex By ey Bz ez
矢量的点积为标量

矢量的点积运算满足如下公式： AB BA
A( B C ) AB A C ( A)( B) ( AB)
9
矢量的叉积
A B ( Ay Bz Az By )ex ( Az Bx Ax Bz )e y ( Ax By Ay Bx )ez ex Ax Bx ey Ay By ez Az A B sin ABen Bz
20
标量场和矢量场的数学形式

直角坐标下，标量场只需一个方程描述

直角坐标下，矢量场需三个分量方程描述
21
方向角和方向余弦


矢量A与三个坐标轴正向之间的夹角α、β、 γ，称为方向角。 cosα、 cos β、 cos γ称为方向余弦。
A( M ) A cos ex A cos ey A cos ez Ay Ax Az cos , cos , cos A A A
此，其面积分后，环量为
l
A dli
i

Si
( A) dSi
49
零场恒等式（标量场）
定理：任意标：如果一个矢量场是无旋的，则
该场可用标量场梯度表示
A 0 A
50
零场恒等式（矢量场）
定理：任意矢量场旋度的散度恒等于零

根据亥姆霍兹定理，必须研究电磁场
中基本场量（如电场强度、磁场强度） 的散度特性和旋度特性——掌握了这
些特性，才能完全掌握了整个场的特
性。
34
矢量场的通量与散度
矢量场通量定义
矢量E沿有向
S E dS
曲面S的面积分
S E dS
矢量场的通量
35
通量应用例子

根据闭合曲面净通量的大小可以 判断曲面内源的性质
AV AdV
n V
41
高斯散度定理
高斯散度定理


S
A dS AdV
V

矢量函数的面积分与体积分的互换。 上式表明了区域V 中场A与边界S上的场A 之间的关系。

散度定理使用条件：场量连续可微。
42
矢量场的环量
矢量A沿空间闭合 有向曲线L的线积分
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
C B B C A 0
A 0
7
矢量的数乘
A Axex Ay ey Az ez
其中，λ 为实数。
8
矢量的点积
AB Ax Bx Ay By Az Bz A B cosAB
1 divA lim v 0 v

S
A dS
divA A
Ax x

A y y

Az z
38
散度的物理意义

矢量的散度是一个标量，是空间
坐标点的函数；

散度是微分量，代表矢量场各点
处的通量源的分布特性。
39
散度的物理意义（续）
A ＝0 无源
A 0 正源
在其他方向的方向导数为
u gradu el gradu en el gradu cos l
31
如何确定矢量场？
确定矢量场的必要条件： 必须同时确定该矢量场散 度和旋度，否则场的解答不 唯一。
32
亥姆霍兹定理
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度
及边界条件唯一地确定。
33
亥姆霍兹定理的意义
47

斯托克斯(Stockes)定理
l

A dl

S
( A) dS
矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界l上的场 A之间的关系。 旋度定理使用条件：场量连续可微，积 分路径方向。
48
斯托克斯(Stockes)定理
A是环量面密度，即围绕
单位面积环路上的环量。因
A 0 负源
矢量场中，若 A 0，则该场为无源场； 若 A 0，则该场为有源场，为场源密度
40
高斯散度定理
由于▽· A是通量体密 度，对▽· A进行体积 分后，所得的结果为 整个体积的通量。

A dS lim
S

n Vn 0 n 1
5.1矢量场通量和散度，高斯散度定理 5.2矢量场环量和旋度，斯托克斯定理 5.3零场恒等式（Null Identities），亥姆霍兹 （Helmholtz ）定理