§2.2 微分中值定理一、罗尔定理 设函数()f x 满足（1）在闭区间［a ,b ］上连续； （2）在开区间（a ,b ）内可导； （3）()()f a f b =.则至少存在一点()a b x Î，，使得()0f x ¢=.几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在(,())A a f a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包括点A 和点B ］.条件（2）说明曲线()y f x =在A ，B 之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线［不包括点A 和B ］条件（3）说明曲线()y f x =在端点A 和B 处纵坐标相等。
结论说明曲线()y f x =在A 点和B 点之间［不包括点A 和B ］至少有一点，它的切线平行于x 轴。
注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）()()kF x x f x =（加法） （2）()()kf x F x x =（加法） （3）()()kxF x f x e =（函数加导数）【例1】设()f x 在[]0，3上连续，在()0，3内可导，且()()()0123f f f ++=，()31f =，试证：必存在()ξ∈0，3，使()0f ξ'=。
证 ()f x Q 在[]0，3上连续，()f x ∴在[]0，2上连续，且有最大值M 和最小值m ,于是(0)m f M ≤≤；(1)m f M ≤≤；(2)m f M ≤≤，故[]1(0)(1)(2)3m f f f M ≤++≤。
由连续函数介值定理可知，至少存在一点[]c ∈0，2，使得()[]1(0)(1)(2)13f c f f f =++= 因此()()3f c f =，且()f x 在[]c ，3上连续，()c ，3内可导，由罗尔定理得出必存在()()03ξ∈⊂c ，3，，使得()0f ξ'=。
【例2】 设()f x 在[]0，1上连续，在()01，内可导，且()()23130f x dx f =⎰.求证：存在()0，1x Î使()0f x ¢= 证 由积分中值定理可知，存在轾Î犏臌2,13c ，使得()()231213f x dx f c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰得到 ()()2313(0)f c f x dx f ==⎰对()f x 在[]0c ，上用罗尔定理（三个条件都满足）， 故存在()0(01)c ，，x 翁，使()0f x ¢=【例3】（07）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=。
分析：令()()()()F x f x g x F x =-⇒在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，在题设条件下，要证存在(,)a b ξ∈，()0F ξ''=。
已知()()0F a F b ==，只需由题设再证(,)c a b ∃∈，()0F c =。
证明：由题设11[,](,),max ()()a b x a b M f x f x ∃∈==，22[,](,),max ()()a b x a b M g x g x ∃∈==。
若12x x =，取12c x x ==，则()0F c =。
若12x x ≠，不妨设12x x <，则111()()()0F x f x g x =-≥，222()()()0F x f x g x =-≤ 12[,]c x x ⇒∃∈，()0F c =由()()()0F a F c F b ===，对()F x 分别在[,]a c 和[,]c b 用罗尔定理12(,),(,)a c c b ξξ⇒∃∈∃∈，使得12()()0F F ξξ''==。
再对()F x '用罗尔定理12(,)(,)a b ξξξ⇒∃∈⊂，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=。
二、拉格朗日中值定理 设函数()f x 满足（1）在闭区间[]a b ，上连续； （2）在开区间()a b ，内可导。
则存在()a b ξ∈，，使得()()()f b f a f b aξ-'=-或写成()()()()()f b f a f b a a b ξξ'-=-<< 有时也写成()()()()00001f x x f x f x x x θθ'+∆-=+∆∆<<g 这里0x 相当a 或b 都可以，x ∆可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线()y f x =在点()()A a f a ，和点()()B f b b ，之间［包括点A 和点B ］是连续曲线。
条件（2）说明曲线()y f x =［不包括点A 和点B ］是光滑曲线。
结论说明曲线()y f x =在A 、B 之间［不包括点A 和点B ］至少有一点，它的切线与割线AB 是平行的。
推论1 若()f x 在()a b ，内可导，且()0f x '≡，则()f x 在()a b ，内为常数。
推论 2 若()()f x g x ，在()a b ，内皆可导，且()()f x g x ''≡，则在()a b ，内()()f x g x c =+，其中c 为一个常数。
推论3 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则000(1)()(),(,)()()([,])(2)[,],()()f xg x x a b f x g x x a b x a b f x g x ''=∈⎧=∈⇔⎨∃∈=⎩ （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当()()f a f b =时的特殊情形，就是罗尔定理）【例1】 设不恒为常数的函数()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且()()f a f b =，证明()a b ，内至少有一点ξ，使得()0f ξ'>.证 由题意可知存在(,)c a b Î使得 ()()()f c f a f b ≠=如果()()f c f a >，则()f x 在[]a c ，上用拉格朗日中值定理存在1(,)a c x Î，使()1()()0f c f a f c aξ-'=>-如果()()f b f c >，则()f x 在[]c b ，上用拉格朗日中值定理存在2(,)c b x Î，使()2()()0f b f c f b cξ-'=>-，因此，必有(,)a b x Î，使得()0f ξ'> 成立.【例2】 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任意10x >，20x >恒有1212()()()f x x f x f x +<+证 不妨假设12x x £，由拉格朗日中值定理有①1111()()(0)(0)()f x f x f x f x ¢=-=-， 110x x << ②[]1221222()()()()f x x f x x x x f x ¢+-=+-，2212x x x x <<+，从而可知12x x <，∵()0f x ⅱ<，∵()f x ¢单调减少，于是12()()f f x x ⅱ> 这样由①②两式可知 1122()()()f x f x x f x >+- 因此，1212()()()f x x f x f x +<+ 成立. 【例3】(04)设2e a b e <<<，证明2224ln ln ()b a b a e ->-. 分析：即证222ln ln 4()b a b a e->-，符合拉格朗日中值定理。
证明：令2()ln f x x =，在[,]a b 上用拉格朗日中值定理得22()()ln ln ln ()2f b f a b a f b a b a ξξξ--'===--，其中2(,)(,)a b e e ξ∈⊂。
注意到ln ()xx xϕ=， 则21ln ()0()()xx x e x xϕϕ-'=<>⇒在(,)e +∞单调下降 2222ln ln 2()()e e e e ξϕξϕξ⇒=>==，因此222ln ln 4()b a b a e->-。
解法二 引入辅助函数，利用函数单调性三、柯西中值定理设函数()f x 和()g x 满足： （1）在闭区间[]a b ，上皆连续；（2）在开区间()a b ，内皆可导且()0g x '≠。
则存在()a b ξ∈，使得()()()()()()()f b f a f a b g b g a g ξξξ'-=<<'- （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形()g x x =时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线»AB 的参数方程()()[]x g t t a b y f t =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，，点()()()A g a f a ，，点()()()B g b f b ，曲线»AB 上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB 。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。
罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。
在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
【例1】 设()f x 在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，且0b a >>，证明：存在(,)a b x Î，(,)a b h Î使()()2a b f f x h x¢+¢=g 证 考虑柯西中值定理（()g x 待定）()()()()()()()()()()f f b f a f b a g b g a g b g a g x h x ⅱ--==¢-- 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，()()()()222f f f b a a b b ax h h x ⅱ?-==+- 两式比较，看出令()2g x x =即可.类似地，欲证()()2223f b ab a f x h x¢++¢=g ，则取()3g x x =即可 四、泰勒定理（泰勒公式）定理1 （皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设()f x 在0x 处有n 阶导数，则有公式()()()()()()()()()()200000001!2!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L()0x x →其中()()()00nn R x o x x x x ⎡⎤=-→⎣⎦称为皮亚诺余项。