微分中值定理班级：姓名：学号：摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。

它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。

（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程()()[]()()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根.证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且()()()()b F a f b a b f a F =-=22根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使()()[]()()x f a b a f b f '222-=-ξ至少存在一个根. 例2 求极限：1220(12)lim (1)xx e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →(1+有2021201201(12)2lim(1)1(12)2lim(12)lim 2(12)lim2212x x x x xx xx e x In x e x x e x xe x →→-→-→-++-+=-+=++===拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b a ξ-'=-显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：()()()()f b f a f b a ξ'-=-a b ξ<<；()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．值得注意的是：拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数．而后两式的特点，在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-，使得不论,a b 为何值，θ总可为小于1的某一正数． 例3 求证()()ln 1,1x x x +≤>-.证明：当0=x 时，显然()01ln ==+x x设0≠x 对()t t f ln =在以1与x +1为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，存在介于1与x +1之间的ξ，使()()()()1111'-+=-+x f f x f ξ,即()ξxx =+1ln 当0<x 时，10<<ξ，11>ξ，但此时注意()1ln +x 与x 均为负值，所以仍有()x x ≤+1ln ， 即对1->x 不等式恒成立. 当0>x 时，0>ξ，110<<ξ，所以有()x x ≤+1ln .例4 证明当e a b >>时，a b b a >。

证明：要证a b b a >，只要证bba a ln ln >设()xxx f ln =，[]b a x ,∈，由()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导, 且()0'<x f 于是()()()()0ln ln '<-=-=-a b f a f b f bba a ξ， 即bba a ln ln >故原式成立. 推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0,f x x I '≡∈，则f 为I 上的一个常量函数。

推论2 若函数f 和g 在区间I 上可导，且()(),f x g x x I ''=∈，则在区间I 上()f x 和()g x 只相差某一常数，即：()()f x g x c =+ （c 为某一常数）推论3 （导函数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0U()x 上连续，在00U ()x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则f 在点0x 可导，且0()lim ()x x f x f x →''=.柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数f 和g 满足(1)在闭区间[,]a b 上都连续； (2)在开区间(,)a b 内都可导； (3)()f x '和()g x '不同时为0； (4)()()g a g b ≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='- 例5 证明2(1),02x ln x x x +>->证明：令2()(1),()2x f x In x g x x =+=-则就是求()(),0f x g x x >>(0)(0)f g =对(),()f x g x 在（0,1）上用柯西中值定理有：()()(0)()()()(0)f x f x f f g x g x g g ξξξ'-==∈'-，（0,1)（）()()f g ξξ''>就是证明 ：，即()12=1+11+f g ξξξξξξ'-='+（）当0,x ξ<<20,1ξξ>+即1()f g ξξ'>'（）.所以原式成立。

例6 函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0)a b <<，试证：存在(,)a b ξ∈，使得()()(ln )()bf b f a f aξξ'-=.证明：令()ln F x x =，易知()f x ，()F x 在[,]a b 上满足柯西中值定理的条件， 于是可得存在(,)a b ξ∈，使()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-， 即()()()1ln ln f b f a f b aξξ'-=-， 亦即()()(ln )()bf b f a f aξξ'-=.求不定式极限: 1.0型不定式极限 定理4 若函数f 和g 满足： （1）00lim ()lim ()0f x g x x x x x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim ()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='例7 求30(1)2(1)lim x x x x e e x →+--解：这是 0型不定式， 故3020200(1)2(1)lim (1)2lim 31lim3lim 616x x x x x xx x xx x x xx x e e x e xe e x xe e x e xe e x →→→→+--++-=+-=+-== 例8 求21cos limtan x xxπ→+解 容易检验()1cos f x x =+与()2tan g x x =在点0x π=的条件下满足洛必达法则的条件，又因()()/3/2sin cos 1lim lim lim 2tan sec 22x x x f x x x g x x x πππ→→→-==-=所以()()()()//1lim lim 2x x f x f x g x g x ππ→→==.2、∞∞型不定式极限 定理5 若函数f 和g 满足 （1）00lim ()lim ()f x g x x x x x ++→→==∞（2）在点0x 的某右邻域00()u x +内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='.例9 求0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→解：这是∞∞型不定式，故 000ln(sin 3)lim ln(sin )3cos3sin lim sin 3cos 3cos cos39sin 3sin lim3cos cos3sin 3sin 1x x x x x x x x xx x x x x x x x +++→→→=-=-= 微分中中值定理在级数方面的应用例 10 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限：01()1lim 0,()x n g x g x n ∞→==∑证明绝对收敛。

()lim0,x g x x→'=证明：且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g (0)=0.2211()(0)(0)()(),0.2!2g x g g x g x g x x ξξξ'''''=++=<<221()()()22M g x M g x g x x ξ''''≤∴=≤，2111,()2M x g n n n ∴=≤当有21111()2n n M g n n ∞∞==∑∑由于收敛，由此可知收敛.例11 证正项级数)0(11>∑∞=+d S a n nnδ收敛. 证明：作辅助函数,1)(δx x f =则δδ+-=1')(x x f . 当2≥n 时，在],[1n n S S -上用中值定理，有),(),()()(1'11n n n n n n n n S S f S S S f S f <<=-----ζζ于是),11(1111δδδδδζnn n n n n S S a S a -=<-++ 由)11(112δδδn n n S S --∞=∑收敛，即得所证.讨论方程根的问题:例12 a 为多项式)(x f 的二重根的充要条件是a 同为)(x f 与)('x f 的根. 证明：必要性设a 为)(x f 的二重根，则)((),()()(2x g x g a x x f -=是多项式)，于是),()(2)()()('2'x g a x x g a x x f -+-=故.0)('=a f 充分性若a 是)(x f 、)('x f 的根，则有多项式)(x g ，使),()()(x g a x x f -=两边求导有),()()()(''x g x g a x x f +-=故,0)()('==a g a f 即a 是)(x g 的根，则),()()(x h a x x g -=从而),()()(2x h a x x f -=即a 是)(x f 的二重根. 一些不等式的证明: 例13 设12,,n a a a 2n a ≤12na a a n+++其中等号成立12n a a a ⇔===证明：取函数()ln f x x =，它的定义域是区间(0,)+∞故211(),()f x f x x x'''==-不妨设1a ≤2a≤≤n a令120...na a a a n+++=或120...0n a a a na +++-=有1a ≤0a ≤n a将函数()ln f x x =在0a 展开泰勒公式（到二阶导数）∀0x >有200020111ln ln ()()()2!x a x a x a a ξ=+-+-- 其中ξ于0a 与x 之间，显然20211()()2!x a ξ--≤0 于是， 0x ∀>有0001ln ln ()x a x a a =+- 当12,,(0,)n x a a a =∈+∞时，分别有 101001ln ln ()a a a a a ≤+- 202001ln ln ()a a a a a ≤+- (000)1ln ln ()n n a a a a a ≤+- 将上述n 个不等式两端分别相加，有：12ln ln ln n a a a +++≤()012001ln ...n n a a a a na a ++++- 0ln n a =即： ()121ln ...n n a a a ⋅≤12()ln n a a a n +++⎛⎫⎪⎝⎭2n a ≤12n a a a n +++ 因为211()02!ξ-≠ 所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔=== 亦即： 122n n a a a a n +++≤因为211()02!ξ-≠所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔===。