求线性目标函数的最值
1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题
意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3
过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．
答案：－10
求非线性目标函数的最值
2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，
3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．
解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则
(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行
域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d
的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，
所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25
． 所以d 2的最小值为45
，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦
⎤45，13． 答案：⎣⎡⎦
⎤45，13
线性规划中的参数问题
3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，
2x －y －m ≤0.
若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小
值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作
直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．
由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，
∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．
答案：5
[通法在握]
1．求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b
，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值．
(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．
(3)斜率型：形如z ＝y －b x －a
． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．。