*第二章混凝土结构设计方法提要：在以后各章将讨论各种基本构件及不同结构的设计计算，这些构件和结构的型式虽然不同，但计算都采用相同的方法——概率极限状态设计法。

因此，在讨论具体的构件和结构设计之前，先介绍概率极限状态设计法。

本章学习要点：1、了解结构可靠度的概念；2、了解极限状态设计法的基本原理；3、掌握荷载和材料强度的取值方法；4、掌握极限状态设计表达式的基本概念及应用。

§2-1 极限状态设计法的基本概念一、结构的功能要求：结构设计的主要目的是保证所建造的房屋安全适用，能够在规定的期限内满足各种预期的功能要求，并且经济合理。

《建筑结构设计统一标准》规定，建筑结构必须满足以下四项基本功能要求：1、结构在正常施工、正常使用条件下，能承受可能出现的荷载及变形。

2、正常使用时的良好工作性能。

3、在正常维护下具有足够的耐久性，如材料风化、老化、腐蚀不超过一定的限度。

4、在偶然事件发生时或发生后，仍然能保持必要的整体稳定性。

上述四项功能要求分别属于安全性、适用性和耐久性。

这三者也统称为结构的可靠性。

所以可以说“结构的可靠性是安全性、适用性和耐久性的统一”。

二、结构可靠性、可靠度的定义可靠性：结构在规定的时间内，规定的条件下，完成预定功能的能力。

可靠度：指结构在规定时间内，规定条件下完成预定功能的概率，即结构可靠度是可靠性的概率度量。

﹡“规定时间”及“规定条件”的含义。

﹡设计使用年限：指设计规定的结构或构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期，即结构在规定的条件下所应达到的使用年限。

注意：①设计使用年限并不等同于结构的寿命；②这一时期的长短与一个国家在一定时期的国民经济发展水平有关；③可靠性与经济性的统一是结构设计的基本原则。

三、结构的安全等级四、结构的极限状态1、极限状态的概念整个结构或结构的一部分超过某一个特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为结构的极限状态。

有效状态与失效状态：二者的分界即是极限状态，显然“极限状态提供了判断结构失效与有效的界限标准”。

2、极限状态的分类（1）承载能力极限状态：p40 被超越的判断；（2）正常使用极限状态：p41 被超越的判断。

五、结构上的作用、作用效应和结构的抗力1、作用与作用效应（1）定义：使结构产生内力和变形的所有原因。

﹡直接作用与间接作用﹡作用与荷载的区别与联系（2）作用的分类：（3）作用效应：2、结构的抗力结构的抗力是指整个结构或构件承受内力和变形的能力。

﹡混凝土结构构件的截面尺寸、混凝土强度等级以及钢筋的种类、配筋数量和方式确定后，构件便具有一定的抗力。

抗力可以按一定的计算模式确定。

﹡影响抗力的因素：材料性能、几何参数、计算模式。

§2-2 结构的可靠度一、结构设计问题的不确定性引子：作用效应 S 结构的抗力 R若S R >，结构处于不可靠状态；S R <，结构处于可靠状态；S R =；结构处于极限状态。

1、作用与作用效应的不确定性（以荷载与荷载效应为例）（1）荷载本身的变异性恒载：材料密实程度变化，施工偏差引起构件尺寸变化。

活载：大小和位置均变化。

（2）内力计算假定与实际受力情况之间的差异。

2、结构抗力的不确定性（1）结构材料性能的变异性，是影响结构抗力的主要因素；（2）结构构件的几何参数的变异性；（3）结构构件抗力计算模式的不确定性。

﹡作用、作用效应和结构抗力都具有不确定性。

具有不确定性的现象称为随机现象，表示随机出现各种结果的变量称为随机变量。

二、数理统计中的几个基本概念1、随机变量的统计特征值：平均值： 1n ii x nμ==∑标准差（均方差）：σ=σ=变异系数： σδμ= 标准差是衡量随机变量离散程度的特征值，σ值越大，离散性越大。

σ虽然能反映随机变量绝对离散程度大小，但不能判别不同算术平均值的各随机变量离散程度的不同。

引入δ，可以反映随机变量的相对离散程度。

2、正态分布的概念正态分布的概率密度函数：221()()(,)exp 22x f x N μμσσπσ--==， 其概率密度曲线如图2-1所示。

可见σ越大，曲线越扁平，随机变量分布越分散。

3、保证率根据概率论，区间[],a b 内事件发生的 概率可以表示为： 图2-1 正态分布概率密度曲线()()ba P a xb f x dx ≤≤=⎰ 如图2-2所示，某一随机变量的分布曲线与横轴之间的总面积（-∞，+∞）代表总概率为100%，a 为某一个定值，则随机变量的值不小于a 的概率可用a 右边的曲线与x 轴所围成的面积ω来表示，ω称为随机变量的值不小于a 的保证率。

随机变量的值不大于a 的保证率可由a 左边的曲线与x 轴所围成的面积'ω来表示，'ω称为随机变量的值不大于a 的保证率，显然，'ω=1-ω。

如果随机变量X 服从正态分布，则X 的值不小于或不大于某一定值a 的概率分别为：)()()(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤a a X P a X P )(1)(1)(σμ-Φ-=≤-=≥a a X P a X P 式中 )(σμ-Φa 表示标准正态分布的分布函数值，可由标准正态分布表查出。

图2-2 正态分布的保证率例如：当σμ2-=a 时%275.2)2()2()()(=-Φ=--Φ=-Φ=≤σμσμσμa a X P %725.97)2()2(1)(1)(=Φ=-Φ-=-Φ-=≥σμa a X P即随机变量X 的值小于a =σμ2-的保证率为2.275%，大于a =σμ2-的保证率为97.725%。

结构设计中，常用到保证率不小于95%的材料强度，由上述原理可以推算出事件发生在[][ 1.645,)μσ-+∞的概率为95%，而事件发生在(, 1.645]μσ-∞-的概率为5%。

因此，如果μ为某种材料强度统计所得的平均值，σ为标准差，取该种材料强度的标准值为 1.645μσ-，则表明材料强度超过该值的概率为95%，低于该值的概率仅仅为5%。

三、结构的失效概率和可靠指标﹡ 关于“结构可靠性”的理解所谓安全可靠，其概念是属于概率范畴，例如，当人们跨越车辆较少的街道时，不感到紧张，具有安全感，当跨越交通拥挤，事故多发的街道时，就会感到不安全。

原因是发生交通事故的可能性（概率）增加了。

可见交通安全与否，取决于发生交通事故的概率大小。

建筑结构的安全性亦然。

结构安全可靠与否，应当用结构完成预定功能的可靠性大小来衡量，而不是用一个绝对不变的标准来衡量。

没有绝对安全可靠的结构，当结构完成预定功能的概率达到一定程度，或者不能完成预定功能的概率小到某一公认的，大家可以接受的程度，就认为该结构是安全可靠的，其可靠性满足要求。

这样来认识和定义结构可靠性是比较科学的。

如图2-3所示，结构的抗力R 与作用效应S 均服从正态分布，且平均值有图2-3 失效概率的定义R S μμ>，大多数情况下，结构抗力大于作用效应。

但由于离散性，在两条概率密度曲线相重叠的范围内，仍有可能出现R S <的情况。

引入结构的功能函数Z R S =-，则Z 也服从正态分布，并有以下计算式子成立：Z R S μμμ=- 22Z R S σσσ=+显然，0Z <的事件出现的概率即为图中曲线与横坐标负方向所围阴影部分的面积，称为失效概率（用f p 表示）。

(0)()f z p P Z f z d -∞=<=⎰由于失效概率f p 的计算复杂，通常采用另一种比较简便的计算方法。

图2-4 功能函数Z 的概率密度曲线由图2-4可知，阴影部分的面积与Z μ和Z σ的大小有关，增大Z μ，曲线右移，阴影面积减小；减小Z σ，曲线变的高而窄，阴影面积也减小，现将曲线对称轴至纵轴的距离表示成Z σ的倍数，即令 Z Z μβσ=则 22RS Z Z R Sμβσσσ==+β越大，失效概率f p 就越小，反之，β越小，f p 就越大，结构越不可靠，显然β与f p 之间就这样建立了一一对应关系。

所以，β与f p 一样可以作为衡量结构可靠度的指标，称为结构的可靠指标。

β与f p 的对应关系见p44的表2-4。

为使结构设计安全可靠，经济合理，应对不同情况下的可靠指标作一规定，来作为设计的依据，称为目标可靠指标（object ），用[]β表示。

《建筑结构设计统一标准》根据安全等级和破坏类型，规定了按承载能力极限状态设计时的目标可靠指标[]β值（见下表）。

不同安全等级结构的承载能力极限状态的目标可靠指标[β]说明：1、表中数据是根据过去设计的若干有代表性构件在分析校核其可靠度的基础上制定的，即“校准法”。

2、充分理解“校准法”，见p44。

3、正常使用极限状态下的目标可靠指标，根据其作用效应的可逆程度宜取0～1.5。

﹡ 提出问题：为什么延性破坏比脆性破坏的目标可靠指标[]β低？课后作业：教材p53思考题2-1～2-8。

§2-3 极限状态实用设计表达式一、概述由以上学习可知，如果已知S和R的分别函数及有关的统计特征值，从理论上讲就可以根据目标可靠指标进行设计和校核了。

但是在实际应用中还存在很多问题。

首先，设计中遇到的随机变量往往不止两个，其分布也不一定服从正态分布；其次，对影响可靠性的一些不确当因素的研究还不够充分，统计资料也不够完善，这就使得直接按目标可靠指标来进行设计显得过于烦琐，有时甚至是很困难的。

为使结构的可靠性设计简便、实用，并考虑到工程技术人员的习惯，对一般常见的工程结构，《建筑结构设计统一标准》提出了实用设计表达式。

实用设计表达式把荷载、材料、截面尺寸以及计算方法视为随机变量，应用数理统计的概率方法进行分析，采用了定值分项系数的表达方式。

分项系数按照目标可靠指标[]β值，并考虑工程经验优选确定后，将其隐含在设计表达式中。

所以，分项系数已起着考虑目标可靠指标的等价作用。

如前所述，结构设计时为保证其安全可靠，就要使失效概率p足够小。

在f计算作用效应S时，取某一足够大的荷载值，则实际出现的荷载超过我们所取的荷载值的概率就会很小；计算结构抗力时，将材料强度取得足够低，那么实际结<表达式和荷载及材料强构材料强度低于所取值的概率也很小，那么在给定S R度取值的条件下，结构或构件的失效概率就是同时出现超载和低强度的概率。

极限状态设计的实用表达式就是根据规定的目标可靠指标，经过优选对荷载乘以一个大于1的荷载分项系数；对材料按一定方法确定一个较低的材料设计强度，使按实用表达式设计的各种结构具有的可靠指标与规定的目标可靠指标在总体上接近。

另外，为使设计表达式满足不同安全等级的要求，还引入一个结构重要性系数，对不同安全等级的建筑结构的可靠指标进行调整。

总之，极限状态设计的实用表达式的可靠度是通过荷载的取值、材料强度的取值和计算公式的取值来保证的，而不必进行繁杂的概率运算。