2019年全国硕士研究生招生考试数学（一）试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x 时，若tan x
x 与k x 是同阶无穷小，则k
( ) (A)1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(2) 设函数||,0,ln ,0
x x x f x
x x x
，则0x 是( )
(A) 可导点，极值点 (B) 不可导点，极值点 (C) 可导点，非极值点
(D) 不可导点，非极值点
(3) 设n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是( ) (A)
1
n n u n
(B)
1
1
1
n
n n u (C)1
1
1
n n
n
u u (D)
2
2
1
1
n
n
n u u (4) 设函数2
,x Q x y
y
. 如果对上半平面0y 内的任意有向光滑闭曲线C 都有
,d ,d 0C
P x y x
Q x y y 那么函数,P x y 可取为( )
(A) 23
x y
y
(B)
23
1
x y
y (C)
11x y
(D) 1x
y
(5) 设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2
2A A
E ，且||4A ，则二次
型T
x Ax 的规范形为( ) (A) 22
21
23y y y (B) 222123y y y (C) 2221
2
3y y y
(D)
2
221
2
3y y y
(6) 如图所示，有三张平面两两相交，交线互相平行，它们的方程为
123d 1,2,3i i i i a x a y a z i
A )
(A) 2,3r A r A (B) 2,2r A r A (C) 1,2r A
r A
(D) 1,1r A
r A
(7) 设,A B 为随机事件，则P A P B 的充分必要条件是( )
(A) P A B P A P B (B) P AB P A P B
(C) P AB
P BA
(D) P AB
P AB
(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2
,
N ，则1
P X Y ( ) (A) 与
无关，与
2
有关 (B) 与有关，与
2
有关
(C) 与2
,都有关 (D) 与2
,都无关
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设函数f u 可导，sin sin z f y x xy ，则
1
1cos cos z z x x y y
.
(10) 微分方程2220yy y 满足条件01y 的特解y
.
(11) 幂级数
1
2!
n
n n x n 在0,
内的和函数S x
.
(12) 设
为曲面2
2
2
440x y z z
的上侧，则
2
24
4d d x z x y
.
(13) 设1
2
3
,
,
A 为三阶矩阵，若
1
2
,
线性无关，且
31
2
2
，则线性
方程组0Ax
的通解为 .
(14) 设随机变量X 的概率密度为,02,
2
0,x
x f x 其他
，F x 为X 的分布函数，EX
为X 的数学期望，则1
P F X EX
.
三、解答题：15-23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、
证明过程和验算步骤.
(15) (本题满分10分) 设函数y x 是微分方程22
x y xy e 满足条件00y 的特解.
(i) 求y x ； (ii) 求曲线y
y x 的凹凸区间及拐点.
(16)(本题满分10分) 设,a b 为实数，函数222
z ax by 在点3,4处的方向导数中，
沿方向34l i
j 的方向导数最大，最大值为10.
(i) 求,a b ； (ii) 求曲面2
22
0z
ax by z
的面积. (17)(本题满分10分) 求曲线sin 0x
y e
x x
与x 轴所围图形的面积.
(18) (本题满分10分) 设120
1
d 1,2,3,
n n a x x x n
(i) 证明：数列n a 单调递减，且2
12,3,
2
n
n n a a n
n
；
(ii) 求极限1
lim
.n n
n
a a
(19) (本题满分10分) 设是由锥面
2
2
2
101x y
z
z
z 与平面0
z
所围成的椎体，求
的形心坐标.
(20) (本题满分11分) 设向量组12
3
1,2,1,
1,3,2
,
1,,3T
T
T
a 为3
R 的一
组基，
1,1,1
T
在这个基下的坐标为,,1b c .
(i) 求,,a b c 的值； (ii) 证明
2
3
,
,为3
R 的一组基，并求
2
3
,
,
到
123
的过渡矩阵.
(21) (本题满分11分) 已知矩阵2
21220
2
A
x 与2100100
B y
相似.
(i)求,x y ；
(ii) 求可逆矩阵P ，使得1
.P AP B (22) (本题满分11分) 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概
率分布为1,1
1
.P Y
p P Y p 令Z
XY ，
(i) 求Z 的概率密度；
(ii) p 为何值时，X 与Z 不相关； (iii) X 与Z 是否相互独立.
(23) (本题满分11分) 设总体X 的概率密度为2
2
22
,,,
0,
x
A e
x f x
x
其中是
已知参数，0是未知参数，A 是常数，12,,
,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.
(i) 求A ； (ii) 求
2
的极大似然估计.。