3
3
所以属于特征值1=1的 全部特征向量是 ：
k1 1(k1 0, k1 R)
3
对于2= 3=3时，解方程(3I－A)X=0，由
1 3 2 1 0 1 3I A 1 1 2 0 1 1
1 3 2 0 0 0
1
得基础解系：2 1
1
所以属于特征值2= 3=3
例5 设是方阵A的特征值，证明: (1) 2是A2的特征值，一般地， m是Am的特征值。 (2)对任意数k，k 是kI A的特征值。 (3)若A可逆，则一定不等于零，且 1是A1的特征
值，| A | 是A*的特征值.
证 明 ：(1) 是 方 阵A的 特 征 值 ， 非 零 向 量 , 使 得A ,
所 以 ，1是A1的 特 征 值 。
其次在A 两边同乘A*，A* A A*可得 A* | A |
4 1 1 0 0 0
0 1
得 基 础 解 系 ：2 1 ,3 0
1
4
所以k22 k33(k2 , k3不全为零)是对应于
特征值2 3 2的全部特征向量。
4 6 0
例
设矩阵
A
3
5
0 ,可作为A的特征向量的是
3 6 1
A (2, 2, 0)T B (1, 2,1)T C (2,1, 0)T D (0, 0, 2)T E (3, 0,1)T
二、特征值与特征向量的计算
设 i为方阵A的一个特征值，则由方程 (i I A)x 0
可求得非零解x i , 那么i就是A的对应于 特征值i的特征向量。 （若i为实数，则 i可取为实向量；若i为 复数，则 i为复向量.）
注 : 若i是A的对应于特征值i的特征向量, 则ki (k 0)也是A的特征向量.
1 1 1 1 0 1 I A0 3 0 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
得 基 础 解 系 ：1 0
1
所 以k1(k 0)是 对 应 于 特 征 值1 1
的全部特征向量。
当2 3 2时 ， 解 方程(2I A)X 0. 由
4 1 1 4 1 1 2I A 0 0 0 0 0 0
向量具有关系式
A =
(1)
成立，则数 称为方阵A的特征值， n维非零列
向量 称为A的对应于特征值的特征向量。
(1)式也可以写成: (I A) 0
( 2)
这是n个未知量n个方程的齐次线性方程组，
( a11 )x1 a12 x2 a1n xn 0
即
a21 x1
( a22 )x2
求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：
（1）计算矩阵A的特征多项式 | I A |, 并求出特征方程 | I A | 0的所有根。 设A有s个不同的特征值1,2, , s。
（2）对A的每个特征值i (i 1, 2, s),求齐次 线性方程组( i I A)x 0的基础解系。 设它的一个基础解系为：i1,i2, iri ,
即
1 5
51
x1 x2
0 0
x1 x2 0,令x2为自由未知量,并取为1.
则基础解系为
1 1
,
c1
1
1
(c1
0)即为A对应于1
4
的全部特征向量.
2 2对应的齐次线性方程组为 : (2I A)x o
即
5 5
11
x1 x2
0 0
即5x1 x2 0，取x1为自由未知量.取通解c2 15
第四章 矩阵的特征值
§4.1 矩阵的特征值与特征向量 §4.2 矩阵的相似对角化 §4.3 实对称矩阵的对角化
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、 特征值与特征向量的计算 三、矩阵特征值、特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义4.1 设A是n阶矩阵，如果存在数和n维非零列
1
的全部特征向量是： k2 1(k2 0, k2 R)
1
2 1 1
例
求矩阵A
0
2 0 的特征值和特征向量。
4 1 3
解：A的特征多项式为
2 1 1 | I A | 0 2 0
4 1 3 ( 2)2 ( 1)
A的 特 征 值 为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程(I A)X 0. 由
2 3 2
f ( ) I A 1 4 2 ( 1)( 3)2
1 3 1
0
由此可得A的特征值为：1 1, 2 3 3
对于1=1时，解方程 (I－A)x=0，由
1 3 2 1 0 1 I A 1 3 2 0 3 1
1 3 0 0 0 0
3
得基础解系：1 1
而A2 A( A ) A() A 2 2是 矩 阵A2的 特 征 值 。
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
所以，k 是kI A的特征值。
(3) 由于|A| 12 n，因此，| A | 0的充要条件 是对任意的i 0。 又由A 可得，A1 1
则c2
1 5
(c2
0)即为A对应于2
2的全部特征向量.
例2 求矩阵 A的特征值和特征向量
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
例3 求矩阵 A的特征值和特征向量
3 2 4
A
2
0
2
4 2 3
例 求矩阵
2 3 2
A 1 4 2
1 3 1
的特征值和特征向量。
解： A的特征多项式为
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ( ann )xn 0
它有非零解的充要条件为：
|I A| 0
（3）
a11
即 ： a21
an1
a12
a22
an2
a1n
个以 为未知量的一元n次方程，
称为矩阵A的特征方程。
其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ) | I A |, 称为方阵A的特征多项式。
ri
那么 kijij即为矩阵A对应于i的全部特征向量,
j 1
其中 kij 不全为0。
例1 :
求 矩 阵A
3 5
11 的 特 征 值 和 特 征 向 量.
解 :1) I A 3
1
( 4)( 2) 0
5 1
2)所以, A的全部特征根为1 4,2 2 3)1 4对应的齐次线性方程组为 : (4I A)x o