2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
第一章 行列式
▪ 本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计 算方法．此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性 方程组的克莱姆(Cramer)法则．
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§1.1 二阶、三阶行列式
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a32 a33
a11 a12 a13
＋
a11 D a21
a31
a12 a13 a22 a 23
a32 ＋a33
a21 a22 a 23
a3－1 a32 a33 －
＋
a11a a 22 33 a12a a 23 31 a13a a 21 32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D1
b1 b2
a12 a22
b1a22 a12 b2
D2
a11 a21
b1 a11 b2 b1 a21
b2
x1
b1a22 a12b2
a11a2D 2 a12a21
x1
D1 D
x2
D2 D
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
x2
a11b2 b1a21
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
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称为三阶行列式
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当
a11
D a21
a31
x1
D1 D
x2
D2 D
x3
D3 D
a12 a13
a22 a23 0 时，方程组(1)有唯一解－：
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D1
1 5
3 4 15 19, 4
11 D2 2 5 5 2 3
x1
x2
D1 19 D 10
D2 3 D 10
19
10
3 10
引例 三元线性方程组
2x1x134xx2 215
1 D
3 10
2 4
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
b2
D
a21
a11a22 a12a21
a22
－
＋
称为二阶行列式，横排的称为行，竖排的称为列．
表示一代数和 a11a22 a12a21.左上角到右下角称为 主对角线，右上角到左下角称为副对角线．
对角线法则：二阶行列式等于主对角线元素的乘
积减去副对角线元素的乘积．
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辅导用书:
１、 高等代数（第三版），北京大学数学系 几何与代数小组编．高等教育出版社．
２、《线性代数辅导及习题精解》 人大第三版 罗剑、滕加俊编著．陕西师范大学出版社
３、《线性代数习题集》胡显佑、彭勇行主编 南开大学出版社
４、 经济数学基础（第二分册 线性代数）， 龚德恩主编．四川人民出版社．
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有 唯一解：
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x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 2
b1a21 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1
a11 a12
a21 x1
a22 x2
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引例 二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 ①
a21 x1
a22 x2
b2
②
将 ①× a22－ ②× a12 得
(a11a22 a12a21) x1 b1a22 a12b2
同理可得
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
▪ 2.既有一定的理论推导，又有大量的繁杂运 算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动 手解决问题的能力。
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用途与特点：
线性代数不仅为学习后续课程奠定必要的数学 基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的 应用，是理工科以及经管类大学生的一门重要的数 学基础课。该课程的特点是：公式多、式子大、符 号繁，但规律性强。课程内容比较抽象，需要学生 具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问 题能力和动手解决实际问题的能力．
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例4
1 23
4 0 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0
1 0 6 3 0 (1) 246 150
10 48 58
1 01
0 2 1 1 2 3 01 (1) 1 0 0
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学习与要求： ▪ 为学好这门课程，要求学生要认真上好每一
节课，深刻理解每一节课的基本理论，熟练掌 握每一节课的重要内容，熟练运用知识点解题， 能够收到举一反三，触类旁通的效果。
▪ 按时完成作业。
▪ 考查方式:期末考试闭卷---70%; 平时作业、 出勤、小测试---30%。
线性代数
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课程的性质：
▪ 线性代数是数学的一个分支，是数学的基础 理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是 学习其他专业课的必修课。
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内容与任务：
▪ 1 线性代数是研究有限维线性空间及其线性 变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等 变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩 阵及二次型等内容。
a11aD 22 a12a21
D a11 a12 a21 a22
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a11a22 a12a21
0 广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
例１
5 1
5 2 (1) 3 13
32
例２
设 D 2
,
31
(1)当 为何值时 D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解
2
D 3 2020/10/11
2 3 0 0，
2 3
1
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或 3
因此可得：
(1) 当 0 或 3时 D 0, (2)当 0 且 3 时 D 0.
例３ 解二元线性方程组
x1 3x2 1 2x1 4x2 5
解
13
D
2
4
1 (4) 3 2 10 0
此线性方程组有唯一解