第十一章 光的干涉1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少？解：由题知两种波长光的条纹间距分别为∴第十级亮纹间距()()65211010589.6589100.610e e m -∆=-=⨯-⨯=⨯2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。

解：设厚度为h 3． 一个长30mm 定的干涉条纹系。

继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25解：设气体折射率为n ，则光程差改变0n n h ∆=-4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。

玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D 又()1n d ∆=-5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ∆，相应的频率和频率宽度记为ν和ν∆，证明λλνν∆=∆，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8102-⨯=∆λ，求频率宽度和相干长度。

解：c λν= λνλν∆∆∴=对于632.8cnm λνλ=⇒=6． 直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双孔必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为λ，则干涉孔径角bcλβ=又∵横向相干宽度为1d mm =图11-47 习题2 图 C图11-18∴孔、灯相距0.182dd bcl mβλ⋅=== 取550nm λ=7． 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长nm 600=λ，平板的厚度mm h 2=，折射率5.1=n ，其下表面涂上某种高折射率介质（5.1>H n ），问（1）在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm ）（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？ 解：（1）0H n n n <<，∴光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为∴中心条纹的干涉级数为为整数，所以中心为一亮纹（2）由中心向外，第N 个亮纹的角半径为N θ=半径为10100.06720013.4r f mm mm θ=⋅=⨯= （3）第十个亮纹处的条纹角间距为 ∴间距为10100.67r f mm θ∆=⋅∆=8． 用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环且中心是暗斑。

然后移动反射镜1M ，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此刻视场内只有10个暗环，试求（1）1M 移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板1G 不镀膜）；（2）1M 移动后第5个暗环的角半径。

解：（1）设移动前暗斑的干涉级次为0m ，则移动后中心级次为020m -移动前边缘暗纹级次为020m -，对应角半径为1θ=移动后边缘暗纹级次为030m -，对应角半径2θ= 又∵()1210 (22)N h h h λλ∆=-== （条纹收缩，h 变小） ∴1022h m λλλ+=（2）移动后 252cos '2h m λθλ+=∴角半径541.40.72rad θ=︒=9． 在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm 和n=1.5,望远镜的视场角为06，光的波长,450nm =λ问通过望远镜能够看到几个亮纹？ 解：设有N 个亮纹，中心级次最大角半径0.0524θ=∴可看到12条亮纹10． 用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm 的范围内共有15个亮纹，玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长,600nm =λ求楔角。

解：9560010 5.9100.0522 1.5215rad ne λα--⨯==⨯⨯⨯ 11． 土11-50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。

证明λN r R 2=，N 和r 分别表示第N 个暗纹和对应的暗纹半径。

λ为照明光波波长，R 为球面 曲率半径。

证明：在ON 暗斑半径为N r ，由图12． 试观察点的光程差∆δ必须小于4λp θ='1n hn λ，其中h 是板内外折射率。

2θ，设中心点0s 发出的光线在两表面反射交于P ，则P 点光程差为12nh ∆=（h 为对应厚度），若板极薄时，由1s 发出的光以角1θ入射也交于P 点附近，光程差222cos nh θ∆=（2θ为折射角） 由干涉条纹许可清晰度条件，对于10,s s 在P 点光程差小于4λ ∴许可角度12θ≤证毕。

13． 在图11-51中，长度为10cm 的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。

另一端与平面玻璃相间隔0.1mm ，透镜的曲率半径为1m 。

问：（1）在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样？（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外计算，第N 个暗条纹到接触点的距离是多少？设照明广博波长nm 500=λ。

h图11-50 习题12图解：（1（2沿半径方向Nr===14．假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为1λ和2λ的两个单色光波，1λ=2λ+λ∆，且<<∆λ1λ，这样，当平面镜M1移动时，干涉条纹呈周期性地消失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M1移动的距离∆h；（3）对于钠灯，设1λ=589.0nm和2λ=589.6nm均为单色光，求∆h的值。

解：（1）当1λ的亮纹与2λ的亮纹重合时，太欧文可见度最好，1λ与2λ的亮暗纹重合时条纹消失，此时光程差相当于1λ的整数倍和2λ的半整数倍（反之亦然），即式中假设2cos1θ=，'∆为附加光程差（未镀膜时为2λ）∴()21211212'2'2' (1)2h h hm mλλλλλ+∆+∆+∆-+=-=⋅∆当1M移动时干涉差增加1，所以（1）（2）式相减，得到（2）0.289h mm∆=15．图11-52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D1和D2是两个长度为10cm 的真空气室，端面分别与光束III和垂直。

在观察到单色光照明（λ=589.3nm）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D2充氧气，最后发现条纹移动了92个，（1）计算氧气的折射率；（2）若测量条纹精度为101条纹，求折射率的测量精度。

解：（1）条纹移动9292λ∆=设氧气折射率为n氧，)10.192λ⨯=n氧=1.000271高0.1mm1M1（2）若条纹测量误差为N ∆，周围折射率误差有16． 红宝石激光棒两端面平行差为10''，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中，光波的波长为632.8nm,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间距多大的条纹？设红宝石棒的折射率n=1.76.解：契角为α，光经激光棒后偏转()21n α-∴两光波产生的条纹间距为 17． 将一个波长稍小于nm 600的光波与一个波长为nm 600的光波在F-P 干涉上比较，当F-P 干涉仪两镜面间距改变mm 5.1时，两光波的条纹就重合一次，试求未知光波的波长。

解：设附加相位变化ϕ，当两条纹重合时，光程差为1λ，2λ的整数倍， 在移动前21121212222h h m m m h λλϕϕλπλπλλ⎛⎫⎛⎫-∆=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭移动后 由上两式得2120.1222nm hhλλλλ∆=≈=∆∆∴未知波长为599.88nm18． F -P 标准具的间隔为mm 5.2，问对于nm 500=λ的光，条纹系中心的干涉级是多少？如果照明光波包含波长nm 500和稍少于nm 500的两种光波，它们的环条纹距离为100/1条纹间距，问未知光波的波长是多少？ 解：若不考虑附加相位ϕ，则有02h m λ= ∴未知波长为499.99995nm19． F -P 标准具两镜面的间隔为mm 25.0，它产生的1λ谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是mm 2和mm 8.3，2λ谱系的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是mm 1.2和mm 85.3。

两谱线的平均波长为nm 500，求两谱线波长差。

解：设反射相位ϕ产生附加光程差'∆，则对于1λ有若011m m q =+，（1m 为整数），则第N 个亮纹的干涉级数为()11m N --⎡⎤⎣⎦ 其角半径为()()112cos '1.....................2N h m N θλ+∆=--⎡⎤⎣⎦ 由（1）（2）得()()1121cos 1N h N q θλ-=-+ 又∵N N r f θ=⋅∴第五环与第二环半径平方比为 同理20.270q =又()()1122122222h h h m q m q ϕϕλλπλπλ⎛⎫⎛⎫∆+-+=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()2216102q q nm hλλ-∆=-=⨯20． 如图11-53所示，F-P 标准具两镜面的间隔为cm 1，在其两侧各放一个焦距为cm15的准直透镜1L 和会聚透镜2L 。

直径为cm 1的光源（中心在光轴上）置于1L 的焦平面上，光源为nm 3.589=λ的单色光；空气折射率为1。

（1）计算2L 焦点处的干涉级次，在2L 的焦面上能看到多少个亮条纹？其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少？（2）若将一片折射率为 1.5，厚为mm 5.0的透明薄片插入其间至一半位置，干涉环条纹应怎样变化？解：()1N -⎤⎦，（ 下： ()22''nh n n h m λ+-∆= （以上对应中心条纹）21． 在玻璃基片上（52.1=G n ）涂镀硫化锌薄膜，入射光波长为nm 500=λ，求正入射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。

解：正入射时，反射比为当δπ=时，反射率最大()G n n > 对应52.524h nm nλ==当2δπ=时，反射率最小，min 0.04ρ= 对应105.042h nm nλ==22． 在玻璃基片上镀两层光学厚度为4/0λ的介质薄膜，如果第一层的折射率为1.35，问为达到在正入射下膜系对0λ全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少？（玻观察屏图11-53 习题21图璃基片折射率6.1=Gn）解：镀双层膜时，正入射2001''G G n n n n ρ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭其中2211222''G G G n n n n n n ==令0ρ=，则21 1.35 1.71n === 23． 在玻璃基片（6.1=G n ）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（38.1=n ），控制膜厚使得在正入射时对于波长nm 5000=λ的光给出最小反射比。