表示：粗体字母A 或
A ，其大小用 A 或
A 表示 。
A
A A A0
A0 叫做单位矢量；
A
也叫做模。
1单位
矢量相等 ：大小相等、方向相同的两矢量相等。
矢量平移后保持不变。
二、矢量的加减法（几何法）
1．矢量的加法
已知：A 、B ，求 A B
A
平行四边形法则
①平移使起点重合 ②作平行四边形 ③从起点O作对角线 就是合矢量
在直角坐标系中，常用 i 、j、k
y Ay
A
表示x、y、z 方向的单位矢量。
A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Az
j
O k
γ
β
α
i
Ax x
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos
z
A
Ax2
A
2 y
Az2
cos2 cos2 cos2 1
4．矢量合成的解析法
指向用右手螺旋法则确定。
i j k
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
讨论：
B
A
（1）结合律 A ( B C) A B A C
（2） A B (B A)
（3） 力矩定义： M r F
A A 0
Fsin r
r
F
的方向
r
F
五、矢量的导数和积分
1.矢量的导数
如图，当 A1 (t ) t A2 (t t ) 对应A
2．矢量解析法
把矢量在特定坐标系中分解成沿坐标轴的分矢量，分矢量的
量值都是标量、方向沿x、y、z，在同一坐标轴上的分矢量就可
用代数法则运算（可用正、负的数值表示分矢量，只有两个指
向），从而使问题简化。
若A A A0，则A0叫做A方向上的单位矢量，
其大小 A0 1，方向与A的方向一致。
3. 矢量的正交分解（坐标表示）
O
C A B
大小: C A2 B 2 2 AB cos
方向：
arctan
B
Asin Acos
C
B Acos
Asin
矢量加法的其他法则
（1）多矢量相加时，可依次相加。
A ABC EC F
E
A
B
F
B F
c
c
（2）多边形法则： 平移后首尾相接。
（3）交换律 结合律 A B B A A (B C) (A B) C
矢量的非法运算
1
A ln B
C
A 2B 15cm
eD
10cm 2B
*矢量与标量不能相等 ！！！
Thinking
一条小船从A地向东航行50 km到达B地, 又从B地向北偏东30°航行30 km到达C地。
这个过程的总效果相当于？？？
相当于小船从A地出发沿直线到达C地
C
位移、速度等
A
B
的合成
2．矢量的减法
A B A (-B)
C AB B
A
B
矢量减法规律（自己总结）
矢量减法规律：
起点相同的两个矢量的差，就是从减矢量的 末端指向被减矢量的末端的矢量。
三、矢量合成的解析法（矢量投影 ，代数运算，问题简化）
1．矢量的合成和分解
已知两个以上矢量求合矢量叫做矢量合成，反之叫矢量分解。 注：当一矢量分解为两分矢量时，有无限多组解，若先限定了两矢量的 方向，则解答才是唯一的。因此，常将一矢量进行正交分解。
A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
已知
A、B，（如图）求
A B
y
解：先将 A、B用平行四边形法则合成 C
C A B
然后将 A、B 正交分解，其解析式为
A
α
A Ax i Ay j
B Bx i By j
O
Bx
C
B
Ax
故 C A B ( Ax Bx ) i ( Ay By ) j
补充知识：矢量运算
目的及要求:
1．掌握矢量、矢量运算法则；
3．从矢量角度深刻理解并掌握 速度、加速 度、力、场强等概念及其计算。
一、矢量和标量的定义及表示
1．标量：只有大小和正负而无方向的量，如质量、时间、 温度、功、能量。
表示：一般字母：m、t、T， 运算法则：代数法则
2．矢量：既有大小又有方向的量，如位移、加速度、电场强度
(由图 可得出)
而
C Cxi Cy j
所以 Cx Ax Bx C y Ay B y
大小 C
C
2 x
C
2 y
方向 arctan C y
Cx
Ay
By
x
四、矢量的乘法
物理中学常遇到两个矢量相乘的问题。
F
如图： W Fcos s
θ
s
1. 矢量的数乘
B mA
大小 mA
方向 m 0, B与A的方向一致；否则相反。
)d
t
B
x
(
t
)d
ti
By (t)d tj
Bz (t)d tk
Ax i Ay j Az k
Reviewing
1、矢量定义
不对！有
2、矢量表示法 方向且方
4536、、、、矢共零零量线矢矢相矢量量等量无方具向方有123对长 的大方矢矢向、、、方 或 非零向大吗小向量量一度 矢向 相 零的A矢方为a 相相叫（矢？小a为 量B相 反 矢量量向任同同相或量零为和同的量且的等同意
y
当△t→0时，有
ΔA dA
A1 (t )
A
lim
Δt0 Δt dt
可以证明
dA
dAx
i
dAy
j
dAz
k
O
A2 (t t )
x
dt dt dt dt z
2.矢量的积分
若
dA dt
B(t )
Bx
(t)i
By
(t )
j
Bz
(t ) k
•环流 A dl
•通量 A ds
则
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B(t
（2）特别注 意： A A A2 0 （3） A B Ax Bx Ay B y Az Bz
（4）引入矢量标积后，功就可以表示为
W F s Fcos s
3．矢量的叉乘 矢积
两矢量相乘得到矢量的乘法叫叉乘，其乘积称 为矢积（叉积）
c
大小: C ABsin
C A B
方向:
垂直于A 、B 组成的平面，
矢量作业
1. 矢量应如何正确表示？
2. 矢量减法满足什么规律（请附图说明）？
3. 写出矢量点乘的解析表达式。
45求.. 矢已a量知：叉2b乘a与的 a右b夹手3角螺b 旋为法45则，如何a操作6？,
b
2
2,
6. 矢量的解析表示法给矢量运算带来什么好处？ 试举例说明（比如加减、乘法、微分及积分等）。
2．矢量的点乘 标积
两个矢量相乘得到一个标量的乘法叫点乘，其乘积称为标积（点积）
A B AB cos
式中θ为两矢、量
A、
B的夹角。
A
B
等于B
在
A
方向上的分量 →
B cos
与A 的模的乘积或等于 A
在
B
方向上
的分量 A cos 与 B 的模的乘积。
讨论：
AB BA
（1）标积满足交换律、分配律 A( B C) A B A C