第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：1.中国古代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

⨯=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7先由5735⨯=是否可以，很显然70除以3余1的“下一个”倍数35270类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：⨯+⨯+⨯±=-，其中k是从1开始的自然数。

k k270321245[3,5,7]233[3,5,7]也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，⨯+⨯+⨯-⨯=得到所求那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643 (14)a=，14=⨯+，所以43÷=，得1992464314r=．【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】 (法1)因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。

方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。

根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到40164016933x y x y =+⎧⎨+++=⎩,解方程组得85621x y =⎧⎨=⎩，即这两个自然数分别是856，21.【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【解析】 设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=⨯+，即37a b =，只有7a =，3b =，所以这个自然数为84712=⨯。

【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于13(61)91⨯+=；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．【模块二：三大余数定理的应用】【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。