圆锥曲线与方程--椭圆知识点一•椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c};这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

(2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。

2 2 22•标准方程：c= a- b2 2χ+y _ 1①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0)a b2 2y X②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C)a b注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上；2 2②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1m n二•椭圆的简单几何性质：1. 范围2 2(1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤ba2b22 2(2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤aa2b22. 对称性椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3. 顶点(1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b)(2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4 .离心率(1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率,2a ae = O 是圆；e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1( e 越大)，椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 •椭圆的的内外部2 2 x 2 y 2 亠—x o + yo W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U21a ba b2 2 x 2 y 2亠XO* y O 彳(2)点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1.a ba b6. 几何性质(1) 点P 在椭圆上， 最大角∙ F 1PF 2max =∕F 1B 2F 2,(2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系(1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法记作 e ( 0 < e < 1),例题讲解: 一.椭圆定义：1 •方程-2 2 y^ . X 2 2 y 2 =10化简的结果是 __________________________2•若. ABC 的两个顶点A -4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18 ,则顶点C 的轨迹方程是 ____________2—=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为9二•利用标准方程确定参数2 21. 若方程 厶 +丄=1 (1)表示圆，则实数k 的取值是5 _k k _3(2) _____________________________________________________ 表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 ______________________________________ . ________ (3) _____________________________________________________ 表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 _______________________________________ . ________ (4) _______________________________________ 表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2. 椭圆4X 2 25y 2 =100的长轴长等于 _______________ ，短轴长等于 _____________ ,顶点坐标 是 _______________ , ____________ 焦点的坐标是 __________ , ________ 焦距是 _________ ，离心率等于—, ____2 23•椭圆 — -1的焦距为 2 ,贝U m= ______________ 。

4 m4. _____________________________________________ 椭圆5X 2 ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k = ______________________________________________ 。

三•待定系数法求椭圆标准方程1. _____________________________________________________ 若椭圆经过点(-4,0) , (0,-3),则该椭圆的标准方程为 _____________________________________ 。

2. 焦点在坐标轴上，且a 2 =13 , c 2 =12的椭圆的标准方程为 _____________3. 焦点在X 轴上，a:b=2:1 , c =∙∕6椭圆的标准方程为 ________________4. 已知三点P (5, 2)、F 1 ( — 6, 0)、F 2 (6, 0),求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标x 23.已知椭圆一4 163,则P 到另一焦点距离为 _______准方程；变式：求与椭圆4χ2∙9y2 =36共焦点，且过点(3, -2)的椭圆方程。

四•焦点三角形2 21椭圆—-1的焦点为F I、F2, AB是椭圆过焦点F I的弦，则ABF2的周长是。

9 252•设F i, F2为椭圆16x2∙ 25y2 =400的焦点，P为椭圆上的任一点，贝:PF1F2的周长是多少？CPF I F2的面积的最大值是多少？2 23•设点P是椭圆—-y 1上的一点，F i, F2是焦点，若• F1PF2是直角，贝UCFI PF2的面积25 16为_________ 。

变式：已知椭圆9x2 16y2 =144 ,焦点为F1、F2，P是椭圆上一点•若.F1 PF^ 60，求APF I F2的面积.五•离心率的有关问题2 2 11. 椭圆H =1的离心率为-,则m =4 m 22. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200,贝吐匕椭圆的离心率e为___________3. 椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，贝U椭圆的离心率为___________4. 设椭圆的两个焦点分别为R、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点卩，若厶FPF为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5. 在厶ABC中，.A =300,∣AB∣=2,S.ABC j.3 .若以A B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e =__________ .六、最值问题：21、已知椭圆一∙ y2=1 , A(1 , 0) , P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值____________ 最小44值_________ 。

22. 椭圆L + y2=ι两焦点为F1、F2,点P在椭圆上，则∣PF1∣2 ∣PF2∣的最大值为______ ,七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆4χ2■ y2=1及直y =X - m线.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为2卫，求直线的方程.522已知椭圆Xr宀1，(1)求过点(1,0 )且被椭圆截得的弦长为2. 2的弦所在直线的方程(2)求过点丐‘2且被P平分的弦所在直线的方程；同步测试1已知只(-8 , 0) , F2(8 , 0),动点P满足∣PF1∣+∣PF2∣=16 ,则点P的轨迹为() A圆B 椭圆C 线段D 直线2 22、椭圆X - y=1左右焦点为F1、F2, CD为过F1的弦，则也CDF的周长为16 92 22 23已知方程—y 1表示椭圆，则k的取值范围是()1+k 1 -kA -1<k<1B k>0C k ≥0D k>1 或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为6 _______________(2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2 , 1) ________________(3) 经过点(5 , 1) , (3 , 2) ______________45. 椭圆笃-Zτ=1(a b 0)的左右焦点分别是F i、F2,过点F i作X轴的垂线交椭圆于P点a b若∠ F1PF2=6O则椭圆的离心率为___________2 26已知椭圆的方程为—y 1，P点是椭圆上的点且.F i PF^ 60 ,求.PF1F2的面积_________________4 37.若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F i,则满足△ ABF为等边三角形的椭圆的离心率为2 28. 椭圆- y 1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点P到它的右焦点的距离是 _100 36 —2 29. 已知椭圆χy+ L = 1(a>5)的两个焦点为F1、F2,且F1F2=8 ,弦AB过点F1,则△ ABF2a 25的周长_____________2 2 2 210、椭圆—+仝=1与椭圆—+ ^ = A- 0)有3 2 2 3(A)相等的焦距(B) 相同的离心率(C)相同的准线(D) 以上都不对2 2 2 211、椭圆—y1与n =I (0<k<9)的关系为25 9 9—k 25—扎(A)相等的焦距(B) 相同的的焦点(C)相同的准线(D) 有相等的长轴、短轴2 2 I12•点P为椭圆—-y 1上的动点,F L F2为椭圆的左、右焦点,则PF1 PF2的最小值为25 16__________ ,此时点P的坐标为 __________________ .感受咼考2 2X V1分别过椭圆孑+ b 2= 1(a>b>0)的左、右焦点F l 、F 2作两条互相垂直的直线11、∣2,它们 的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 (A . (0,1)2 22•椭圆10θ+ 64=1的焦点为F l 、F 2,椭圆上的点P 满足∠ F 1PF 2= 60°则厶F 1PF 2的面 积是()3•已知椭圆E 的短轴长为6,焦点F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆E 的离心 率等于()2 24已知点F , A 分别是椭圆a 2+ b 2= 1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0, b)满足FB AB = 0,225. 已知椭圆X + N 2 = 1的左右焦点分别为F 1、F 2,过F 2且倾角为45°的直线I 交椭圆于A 、 8B 两点，以下结论中：①△ ABF 1的周长为8;②原点到I 的距离为1;③IABi = 正确结论的个数为()A . 3B . 2C . 1D . 06. 已知圆(x + 2)2+ V 2= 36的圆心为M ,设A 为圆上任一点，N(2,0),线段AN 的垂直平 分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹是( )A •圆B •椭圆C .双曲线D •抛物线2 27. 过椭圆C :》+ *= 1(a>b>0)的一个顶点作圆X 2+ b 2= b 2的两条切线，切点分别为 A , B ,若∠ AOB = 90o (O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为 _________ .C.A. 64. 3 3B∙⅜3则椭圆的离心率等于() A H2B^C^≡1C. 2D.5+ 122 28若椭圆a 2+ b 2= 1(a>b>0)与曲线x 2+ y 2 = a 2- b 2无公共点，则椭圆的离心率 e 的取值范 围是 ________ •2 2X V10.已知椭圆C : a 2+ b 2= 1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y =x + 2相切，求椭圆C 的焦点坐标;111 •椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点 F 1, F 2在X 轴上，离心率e =勺(1) 求椭圆E 的方程；9 .已知△ ABC 顶点2 2X VA( — 4,0)和C(4,0),顶点B 在椭圆25+首= 1上，则sinA + Si nC Si nB。