圆锥曲线与方程椭 圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

2．标准方程： 222c a b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

（e d PF =||） ①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）准线方程：c a x 2±= ②焦点在y 轴上：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2±= 小结一：基本元素（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量）， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）5．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 6.几何性质 （1） 最大角()12122max ,F PF F B F ∠=∠（2）最大距离，最小距离例题讲解：一.椭圆定义：１．方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 .（4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 ,3．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆224936x y +=共焦点，且过点(3,2)-的椭圆方程。

四．焦点三角形1．椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。

2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？3．设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。

变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ， 求21F PF ∆的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．最值问题：1.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆2212516x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___3、已知椭圆2214x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。

4.设F 是椭圆322x ＋242y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P 点坐标 最小值 .同步测试1已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、椭圆221169x y -=左右焦点为F 1、F 2，CD 为过F 1的弦，则∆CDF 1的周长为______3已知方程22111x y k k+=+-表示椭圆，则k 的取值范围是( ) A -1<k<1 B k>0 C k ≥0 D k>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3) 经过点(5，1)，(3，2)5、若⊿ABC 顶点B 、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC 、AB 边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G 的轨迹方程为______________________6.椭圆22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆于P 点。

若∠F 1PF 2=60°，则椭圆的离心率为_________7、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的的离心率为_______椭圆方程为 ___________________.8已知椭圆的方程为22143x y +=，P 点是椭圆上的点且1260F PF ∠=︒,求12PF F ∆的面积9.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左焦点的距离是12，那么点P 到它的右焦点的距离是 11．已知椭圆)5(125222>=+a y ax 的两个焦点为1F 、2F ，且821=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长12.在椭圆252x +92y =1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4=x ,那么这个椭圆的方程为 。

14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e =___________.15、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,准线方程为18±=y ,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.16.已知P 是椭圆90025922=+y x 上的点,若P 到椭圆右准线的距离为8.5,则P 到左焦点的距离为_________.17．椭圆1162522=+y x 内有两点()2,2A ，()0,3B ，P 为椭圆上一点，若使53PA PB +最小，则最小值为18、椭圆32x ＋22y =1与椭圆22x ＋32y =(0)有(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对19、椭圆192522=+y x 与125922=-+-λλy x （0<k<9）的关系为 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴20、椭圆12622=+y x 上一点P 到左准线的距离为2，则点P 到右准线的距离为 21.点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF ⋅的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。