(4.6)
下面举一些计算平稳序列谱密度的例子。
第2章 平稳过程
第10页
例1 在§1 例1 中离散白噪声的相关函数是
2 m0
RX
(m)
0,
m0
试求其谱密度。
解 由(4.6) 式 SX() eimRX(m) m 2,
结果表明，离散白噪声的谱密度在区间 [ , ] 中是
常数。
第2章 平稳过程
特征函数，可表示为
RX()
eidF()
其中F ( ) 是概率分布函数；亦即
改写为
R RX X((0))21
eid(2F())
RX()21
eidF()
其中 F()2R X(0)F()，而F ( ) 符合定理要求。 证毕。
第2章 平稳过程
R X ()2 1 eid F (),
第6页
(4.1)
|
RX()|d，那么
F / ( ) 可微，故有 F/()SX() ，此时(4.1)式可变成
RX()21 eiSX()d
(4.2)
利用傅里叶变换理论，将（4．2）式反演可得
S X () e iR X ()d,
由此可见 S X ( )是R X ( ) 的傅里叶变换，而 R X ( ) 是 S X ( )
的反傅里叶变换。
相关函数<->谱密度
Fourier变换对
对于平稳序列也有类似于上面的结论。
第2章 平稳过程
第8页
定理 设平稳序列{X (n ),n0 , 1 , 2 ,...}的相关函数是
R X (m ) 2 1 e im d F (), m 0 , 1 , 2 ,... (4.4)
其中F ( ) 是 [ , ]上有界非降函数，且
函数是 R z(m ) akam k2,m 0,1,2,... k
求 Z ( nei(mk) mk
k
m
2 akeik ajeij
k
j
2 | akeik |2 k
第2章 平稳过程
第15页
二、谱密度的物理意义
谱密度的名称来自无线电技术，在物理中它表示功率 谱密度. 下面我们利用频谱分析方法介绍平稳过程{ X ( t ) , t }的功率谱密度。
（4.1）式中F ( ) 称为平稳过程 X ( t ) 的（自）谱函数。
如果存在非负函数 S X ( ) 使
F () S X ()d ,
那么称 S X ( ) 为平稳过程 X ( t ) 的（自）谱密度。它的物理 意义将在后面解释。
第2章 平稳过程
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如果自相关函数 R X ( ) 满足条件
第2章 平稳过程
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傅里叶变换（简介）
f(x) 傅里叶变换为 F(t) 1 f(x)eitxdx
2
反演公式
f(x) 1 F(t)eitxdt
2
傅里叶变换存在的条件
f(x) 傅里叶变换及反演公式在满足下面两个条件下有 意义：
(1) | f(x)|dx,
(2) f(x) 在 (, ) 上满足狄里赫勒条件：只有有限
个极值点，只有有限个第一类间断点。
第2章 平稳过程
第2页
第2章 平稳过程
第3页
第2章 平稳过程
第4页
维纳-辛钦（wiener－Khintchine）定理
设连续平稳过程 {X(t),t }的相关函数是 R X ( ) ， 则 R X ( ) 可以表示为
R X ()2 1 eid F (), (4.1)
函数是 R z(m ) akam k2,m 0,1,2,... k
求 Z ( n ) 的谱密度。
解：由(4.6)式，Z ( n ) 的谱密度
SZ() eim R Z(m ) m
eim
akamk 2
m
k
2
akamkeikei(mk)
km
第2章 平稳过程
第14页
例3 在§1例2 中离散白噪声的无限滑动和 Z ( n ) 的相关
eimakamk
k0m
第2章 平稳过程
N
RY(m)
akamk2
k0
0mkN
N Nk
2
eimakamk
k0mk
令lmk
NN
2
ei(lk)akal
k0l0
N
N
2 akeik aleil
k0
l0
N
2 | akeik |2 k0
第12页
第2章 平稳过程
第13页
例3 在§1例2 中离散白噪声的无限滑动和 Z ( n ) 的相关
分三步讨论： 1）确定性信号的功率谱密度； 2）平稳随机信号的功率谱密度； 3）讨论平稳随机信号功率谱密度与相关函数之间的 傅里叶变换关系，从而说明谱密度和功率谱密度 是一致的。
第2章 平稳过程
第16页
1．确定性信号的功率谱密度
对确定性信号 x(t),t作频谱分析。x ( t ) 可
表示 t 时刻的电流强度或电压。根据电学中电功率公式
WI2RU2/R如果取电阻 R 为 1欧姆，那么 x 2 ( t ) 表
示信号在 t 时刻功率。
下面利用 Fourier 分析中的定理对信号 X(t) 作谱分解.
其中 F ( ) 是有界非降函数，且
F ( ) 0 ,F ( ) 2R X (0 )
证 令R X()R X()/R X(0)。则易知 R X ( ) 满足：
(1) RX(0)1；(2) 在 上连续；(3) 具有非负定性.
第2章 平稳过程
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利用附录 g 2中的波赫纳尔-辛钦定理，得到 R X ( ) 是一个
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如果 R X ( m ) 满足条件 | RX (m)| ，可以证明 F ( ) m
可微，故有 F /()S X (), 。
此时，（4.4）式可变成
R X (m ) 2 1 e im S X ()d,m 0 , 1 , 2 ,...(4.5)
它的反演公式是
SX() eim R X(m ), m
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例2 在§1 例2 中离散白噪声的有限滑动和 Y(n) 的相关函数
N
是 RY(m)
akamk2 , 求Y(n) 的谱密度。
k0
0mkN
解：为方便起见规定：当 l0或 lN时 a l 0 ，
由(4.6)式 SY() eim R Y(m ) m
N
eim akamk 2
m
k0
N
2
F ( ) 0 ,F () 2 R X (0 )
此定理可以用附录§2中赫尔格洛兹定理进行证明。
（4．4）式中 F(),[,] 称为平稳序列的（自）谱函
数。如果存在非负函数 S X ( ) 使
F () S X ()d,
那么称 SX(), [,]为平稳序列 X(n) 的(自)谱密度。
第2章 平稳过程