傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述
——老师不会这么讲,书上也不会讲 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年,关于傅里叶级数
和傅里叶变换可能还是一知半解,只能套用公式,根本不理解为什么
要这么算,也就是有什么实际含义——可以说,几乎所有信号与系统
里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的!那么,什么是傅里叶
变换,它是怎样一种变换,具体有怎么变换,有没有确切一点或者形
象一点的物理解释呢?下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形
象地讲出来,形式是思考探讨渐进的模式,也就是我自己的思考过程,
希望对大家有所帮助。
首先,要知道傅里叶变换是一种变换,准确点说是投影。傅里叶
变换的投影问题,一直想不明白那一系列的正交函数集,到底是什么
样一个函数集合,或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数
当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴,也就是说同一个维
度的分解和叠加,肯定没错,也很实用。但是要是从投影(或者说变
换)的角度来说,怎么解释呢?这一系列正弦余弦的函数,在一个区
间内,是一个完备的正交函数集,每一个函数所带的系数(或者叫权
重),就是原函数在这个函数的方向上的一个投影(说方向不准确,
但找不到其他的词)。那么,原函数到底是一个什么样的函数,和各
正交基函数又是怎样的一种关系呢?这个投影又是怎么投的呢?三
维或者二维空间,一个矢量在各正交基的投影很好理解,那么,傅里
叶变换的正交基函数,也是这样一种相互垂直的关系么???投影也
是取余弦值么?
这可以很容易地想清,我们只用余弦或者只用正弦就可以,如
cos(2pi*nf0)系列,显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系,相
反可以看出这是在同一个维度里面的!所以上面两个答案是否定的。
那么,到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题,是因为
开始看书的时候我看得太粗心太浅显,没有认真透彻地理解函数正交
的含义,没想到那才是最重要最根本的,从那里面再深刻理解一下,
问题就迎刃而解。
函数正交和矢量正交完全不一样,是两个概念。函数正交是两个
函数,一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果,积分
就涉及到一个区间,这也很重要。如果满足:当这两个函数不同时,
积分值为0;当两函数相同,积分值不为0。那么这两个函数在这个
区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列,在各个周期
内,都满足上述条件,在正弦和余弦函数之间同样满足,所以这些函
数是正交的。至于完备,很明显看出,不去证明了。
第一个问题解决了,现在看怎么去投影了。为更易于理解,我
们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周,
我们用来作傅里叶变换的因子,正是这个形式(exp(-jwt)),这里
我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别,前者求的是复指
数傅里叶级数的系数,即每个正交函数的系数(权重),复指数傅里
叶级数的正交函数集正是exp(jwt),所以求系数刚好乘以一个共轭
因子,后者求的是级数,包含所有系数和正交函数,其值还是等于原
函数。
我们还是回到复指数傅里叶变换,其意义是将一个任意函数表
示成一系列系数和正交函数相乘的累加,这也是一种变换,奇特的是,
我们可以说这没有变换域!时域的可以说还是在时域的,尽管自变量
中有w。然而我们也可以说这变换了域,因为自变量现在可以看成是
w,而时间t,只不过是一个系数因子。那么,我么知道exp(jwt)表
示的是一个圆周,w取一系列值(与原函数周期相关),而如果此圆
周的半径再作一些变化的话,我们将得到一个圆面。根据上面正交函
数的理解,这些函数都正交。可以很明显看出,所有函数图像都是在
一个圆面上,也就是说,我们要将一个任意函数(当然是周期的)投
影到一个圆面上!!!这太神奇了!怎么投影呢???怎么会投影到
一个圆面上呢,投影了之后结果会等价么???
回答是肯定的。就是投影到一个圆面上,并且,完全等价!可
以这样理解,我们有一个和原函数的x轴垂直的圆面,在这个圆面上
有很多种角频率(w表示)、很多种半径的点在作圆周运动,每一个
角频率对应2pi*kf0,也就是那么多个函数,构成一个完备的正交函
数集,这些函数的自变量是t,在圆周上,随着时间的变化,点才会
转动,当对应一个w,经过时间t,相位即是2pi*kf0t,如果这个点
和原函数在t时刻的函数点(在函数图象上)重合,那么我们把原函
数在t时刻的值投影到这个圆周上,规则是,函数值绝对值就是模,
其幅角等于2pi*kf0t,也就是说,实轴和虚轴的值也可以确定了。
若没有重合,则略过,即此时t对应函数值不是这个频率的。而前面
的那个模呢,正是时刻t的函数值对这个角频率圆周函数的一点贡
献,将所有的t都贡献给这个频率的圆周,那么得出的就是这个角频
率的圆周函数对应的系数,也就是权重,也就是半径!这就是一次投
影!其他的所有投影都是这样来的!第二个问题,圆满解决!
实际上,为便于理解,或者说得形象一点、简单一点,复指数
傅里叶级数是这样一种投影,首先,构造一个以x轴为轴线,以原函
数长度为最大周期的一个“圆筒”(不知道半径),其次,逐个频率
投影,投影方式是每个频率在螺旋前进中每个位置拟合(实际上点要
重合)原函数并且以原函数值绝对值为模(如果重合。没重合的则略
过),最后在整个区间累加,累加相当于又径向压缩这个圆筒成为一
个圆周,这个圆周是以这个频率为角速度,以这个累加值为半径旋转
出来的!这个圆周呢,在我们的直角坐标系中可以表示为二维图像,
因为它只有两个参数,半径和角速度。而通常我们是以角速度(角频
率)作横轴,以半径作纵轴。很多的角频率对应其各自的半径,画在
一幅图中,于是就得到所谓的傅里叶变换图,即是频谱图!
问题应该圆满解决,over。
附:关于螺旋运动,我们学正弦曲线时可想到,实际上可看作垂
直于x轴的圆面上的匀速圆周运动再在x轴方向移动,也即螺旋前进。
余弦同。