2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
第一节 多项式回归
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多项式拟合与数据插值
一、多项式回归模型
对于可控变量
x 和随机变量 y 的 m (m n) 次独立的 x （自变
观测 ( xi , yi ), i 1, 2,, m ， y （响应变量）和 量）之间的多项式回归模型为：
106.9 108.3 … 114 112.2 108.6
104.9
105.3 106.1 … 112.6 112.5 112.2
104.4
104.8 105.7 … 112.4 112.3 112
105.9
106.4 107 … 113.1 113 112.6
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多项式拟合与数据插值
多项式拟合与数据插值
3. 更高次多项式拟合 调用polyfit函数作更高次（大于4次）多项式拟合，并
把多次拟合的残差的模加以对比，评价拟合的好坏。
>> [p5,S5] = polyfit(x,y,5); % 5次多项式拟合 >> S5.normr >> [p6,S6] = polyfit(x,y,6); % 6次多项式拟合
2. 三次样条插值函数
a x0 x1 xn b为区间[a, b]的一个分割
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果函数S ( x )在区间[a, b]上满足条件 :
(1) S( x)在每个小区间[ xi 1 , xi ]上都是三次多项式
(2) S ( x), S ( x), S ( x)都在区间[a, b]上连续
1. polyfit函数的用法 [p,
系 数 向 量 的 估 计 值
S,
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
mu] = polyfit(x,
均 值 和 标 准 差 自 变 量 观 测 值 向 量
y,
因 变 量 观 测 值 向 量
n)
多 项 式 阶 数
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1
2 3 … 57 58 59
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2007年1月
2007年2月 2007年3月 … 2011年9月 2011年10月 2011年11月
104.9
105.8 107.7 … 113.5 111.9 108.7
104.4
105.2 107.4 … 113.4 111.8 108.8
105.9
r = - 0.000074268*x^4 + 0.0096077*x^3 - 0.39845*x^2 + 5.5635*x + 94.277
ˆ 0.0001x4 0.0096x3 0.3985x2 5.5635x 94.2769 y
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所用的工具 从物理上讲，样条满足插值点的约束，同时使势能 达到最小 三次样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成
的曲线，在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导
数也是连续的，1946年,Schoenberg将样条引入数学,即 所谓的样条函数
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多项式拟合与数据插值
则称 S ( x )为区间[a, b]上的三次样条函数
(3) 若三次样条函数S ( x )满足
S ( xi ) yi , i 0,1,, n
则称S ( x )为f ( x )在[a, b]上的三次样条插值函数
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多项式拟合与数据插值
3. 三次样条插值原理 在n个小区间构造S(x)，共有n个三次多项式，需确定4n个参数 在所有节点上 S ( xi ) yi , i 0,1,, n 在除端点外的节点上 n+1个方程
1. 数据的散点图
125
120
食品零售价格分类指数(y)
115
110
105
100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
lim S ( x) S ( xi ) yi , i 1,, n 1
x xi x xi
lim S ( x) S ( xi ), i 1,, n 1
lim S ( x) S ( xi ) M i , i 1, , n 1
x xi
插值、最近邻插值、三次样条插值和B样条插值等。
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多项式拟合与数据插值
三、二维插值问题的数学描述
二维插值问题的数学描述为： 已知某二元函数 z = G(x, y)（ 解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在平面区域D上N个互异点 (xi, yi) 处的函数 值 zi ， i = 0,1,…,N ，求一个足够光滑、简单便于计算的插 值函数f(x, y)。由插值函数可以计算原函数在平面区域 上任
n n 1 y p x p x pn xi pn1 i , 1 i 2 i i iid 2 ~ N (0, ) , i 1, 2,, m. i
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多项式拟合与数据插值
二、多项式回归的MATLAB实现
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二、一维插值问题的数学描述
１．数学描述 一维插值问题的数学描述为： 已知某一函数 y = g(x)（ g(x)的解析表达式可能十分复杂, 也可以是未知的）在区间[a, b]上n +1个互异点 xj 处的函数值 y j ， j = 0,1,…,n ，还知道g(x)在[a, b]上有若干阶导数，如何 求出g(x)在[a, b]上任一点x的近似值。
多项式拟合与数据插值
2. polyval函数的用法 [y,
因 变 量 估 计 值 向 量
delta] = polyval(p,
误 差 标 准 差 的 估 计 值 向 量 多 项 式 系 数 向 量
x,
用 户 指 定 的 自 变 量 取 值 向 量
S)
用 于 误 差 估 计 的 结 构 体 变 量
多项式拟合与数据插值
多项式回归与数据插值
天 津 科 技 大 学 数 学 系
E-mail: xiezhh@ MATLAB从零到进阶
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多项式拟合与数据插值
主要内容 多项式回归 插值问题的数学描述 一维插值 二维插值 高维插值
三、多项式回归案例
【例20.1-1】现有我国2007年1月至2011年11月的食品零售价格分 类指数数据，如表20.1-1所示。数据来源：中华人民共和国国家
统计局网站月度统计数据。试根据这59组统计数据研究全国食
品零售价格分类指数 y（上年同月 = 100）和时间 x 之间的关系。
序号 统计月度 上年同月 = 100 全国 城市 农村 上年同期 = 100 全国 城市 农村
多项式拟合与数据插值
125 原始散点 4次多项式拟合 6次多项式拟合 8次多项式拟合 9次多项式拟合
120
食品零售100
95
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 07 007 007 007 007 007 008 008 008 008 008 008 009 009 009 009 009 009 010 010 010 010 010 010 011 011 011 011 011 011 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11 .1 .3 .5 .7 .9 .11
值。求插值函数f (x)的方法称为插值方法，（1）式称为插值
条件。 代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
3．常用一维插值方法 常用的一维插值方法有：分段线性插值、拉格朗日 （Lagrange）多项式插值、牛顿（Newton）插值、Hermite
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
3. poly2sym函数的用法 r = poly2sym(p,
多 项 式 的 符 号 表 达 式 多 项 式 系 数 向 量
v)
自 变 量 符 号 或 取 值
2017/1/1
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多项式拟合与数据插值
意点处的近似值。常用的二维插值方法有：分片线性插值、