卫星轨迹
一．问题提出
设卫星在空中运行的运动方程为：
其中是k 重力系数(k=401408km3/s)。

卫星轨道采用极坐标表示，通过仿真，研究发射速度对卫星轨道的影响。

实验将作出卫星在地球表面（r=6400KM ，θ=0）分别以v=8KM/s,v=10KM/s,v=12KM/s 发射时，卫星绕地球运行的轨迹。

二．问题分析
1．卫星运动方程一个二阶微分方程组，应用Matlab 的常微分方程求解命令ode45求解时，首先需要将二阶微分方程组转换成一阶微分方程组。

若设，则有：
2．建立极坐标如上图所示，初值分别为：卫星径向初始位置，即地球半径：y(1,1)=6400；卫星初始角度位置：y(2,1)=0；卫星初始径向线速度：y(3,1)=0；卫星初始周向角速度：y(4,1)=v/6400。

3．将上述一阶微分方程及其初值带入常微分方程求解命令ode45求解，可得到一定时间间隔的卫星的径向坐标值y(1)向量；周向角度坐标值y(2)向量；径向线速度y(3)向量；周向角速度y(4)向量。

4．通过以上步骤所求得的是极坐标下的解，若需要在直角坐标系下绘制卫星的运动轨迹，还需要进行坐标变换，将径向坐标值y(1)向量；周向角度坐标值y(2)向量通过以下方程转换为直角坐标下的横纵坐标值X,Y 。

5．卫星发射速度速度的不同将导致卫星的运动轨迹不同，实验将绘制卫星分别以v=8KM/s ，v=10KM/s ，v=12KM/s 的初速度发射的运动轨迹。

三．Matlab 程序及注释
1．主程序
v=input('请输入卫星发射速度单位Km/s ：\nv=');%卫星发射速度输入。

axis([-264007000-1000042400]);%定制图形输出坐标范围。

%为了直观表达卫星轨迹，以下语句将绘制三维地球。

[x1,y1,z1]=sphere(15);%绘制单位球。

x1=x1*6400;y1=y1*6400;⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=dt d dt dr r dt d dt d r r k dt r d θ
θθ2)(2
22222θ==)2(,)1(y r y ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧**-=**+*-===)1(/)4()3(2)4()4()4()1()1()1()3()4()2()
3()1(y y y dt
dy y y y y y k dt dy y dt dy y dt dy ⎩⎨⎧*=*=)]
2(sin[)1(Y )]2(cos[)1(X y y y y
z1=z1*6400;%定义地球半径。

mesh(x1,y1,z1);
surf(x1,y1,z1);%绘制地球。

x0=[6400,0,0,v/6400];%微分方程初始值。

[t,y]=ode45(@YunDongFangCheng,[0,200000],x0);%将微分方程，时间变量范围，%以及微分方程初始值，传递给函数ode45求解微分方程。

%以下语句将径向坐标值y(1)向量，周向角度坐标值y(2)向量，
%转换为直角坐标下的横纵坐标值X,Y。

用于直角坐标下卫星轨迹绘制。

X=y(:,1).*cos(y(:,3));
Y=y(:,1).*sin(y(:,3));
%以下语句用于卫星轨迹绘制。

hold on;
plot(X,Y,'r.',X,Y,'b-');
grid on;
2．微分方程函数
function f=YunDongFangCheng(t,x)%定义状态变量函数。

K=401408;%K为重力系数。

f=[x(2);
-K/(x(1)*x(1))+x(1)*x(4)*x(4);
x(4);
-2/x(1)*x(2)*x(4)];
四．问题求解结果
1．卫星以v=8KM/s速度发射，绕地球运行的轨迹。

2．卫星以v=10KM/s速度发射，绕地球运行的轨迹。

3．卫星以v=12KM/s速度发射，脱离地球运行的轨迹。

4．三维空间下，卫星以v=10KM/s速度发射时，绕地球运行的轨迹。

5．三维空间下，卫星分别以v=8KM/s，v=10KM/s，v=12KM/s的速度发射的运动轨迹比较。