a
b
（200）、（333）等是否存在？ 具有公因子的晶面不存在
过坐标原点O
c
a
O

b
O’
截距 -1 1/4 （01-4）
c
a （100）
b
c
a
（200） b
（3）晶面族和晶向族
(hkl)与[uvw]分别表示的是一组平行的晶向和晶面。
[110]
(100)
简单立方(12) 体心立方(13) 面心立方(14)
Fe, Cr, Cu, Ag, V
14种Bravais点阵
1. 三斜Triclinic ：简单三斜(1)
a b c, 90o
2. 单斜Monoclinic ： 简单单斜(2) 底心单斜(3)
a b c, 90o
dhkl2[(h/a)2+(k/b)2+(l/c)2] =cos2+cos2+cos2 直角坐标系
cos2+cos2+cos2 =1
对于常见晶系，晶面间距dhkl为：
dhkl dhkl dhkl
1 (h)2 (k )2 ( l )2 abc
abc 90
abc 90
简单六方(8)
简单菱方(9) 简单四方(10) 体心四方(11)
Mg, Zn
Cd, Ni, As 90%以上的 金属具有立
As, Sb, Bi 方晶系和六 方晶系
-Sn, TiO2
abc 90
Draw the plane （100）
c
a （100）
b
Draw the plane （111）
c
a
b
Draw the plane （201）
c
a
b
Draw the plane （211）
c
a
b
Draw the plane （321）
c
原子排列
基元排列
c
a
b zx y
晶格常数
z
lattice constants
晶胞
ruvw c
O a
b
各棱边a、b、c
各棱间的夹角
、、
y
x
点阵矢量 ruvw ua vb wc
7种晶系，14种布拉维Bravais点阵
a、b、c
、、
晶系 Crystal systems 三斜晶系 Triclinic 单斜晶系 Monoclinic
简单立方 (12) 体心立方 (13) 面心立方 (14)
a b c,
90o
四方 a b c, 90o
abc
立方 a b c, 90o
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结构 = 空间点阵 + 基元
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
• Example 2.求截距为1、1、晶面的指数
• 取倒数为1、1 、0, 化为最小整数加圆括弧得（110）
需要指出说明：
1. 晶面指数(hkl)不是指一个晶 面，而是代表一组相互平行 的晶面；
2. 平行晶面的晶面指数相同， 或数字相同而符号相反，
---
如(hkl)和 (hkl)
(100)
3. 在立方晶系中，指数相同的晶面与晶向相互垂直。



{111} : (111)、(111)、(111)、(111)
{110}
Z
（011）
（110） （011） （101）
（101）
Y （110）
X
（4）六方晶系指数
采用四坐标轴：a1、a2、a3和c轴
晶面指数：(hkil)
体现六方晶系 的独特对称性
i (h k) hk i 0
5. 菱方Rhombohedral ： 简单菱方(9)
a b c, 90o
14种Bravais点阵
6. 四方Tetrahedral：
简单四方 (10) 体心四方 (11)
a b c,
90o
14种Bravais点阵
7. 立方Cubic：
每个阵点的周围环境相同
简单三斜(1)
K2CrO7
abc 90
简单单斜(2) 底心单斜(3)
-S CaSO4•H2O
abc 90
简单正交(4) 底心正交(5) 体心正交(6) 面心正交(7)
Fe3C Ga
-S
a1 a2 a3 c 90 120
空间点阵与晶体结构
3rd
由一系列原子所组成的 平面称为晶面。
Crystal plane
原子在空间排列的方向 称为晶向。
Crystal orientation
晶面指数和晶向指数
crystallographic plane index
Orientation index
（1）晶向指数
（1）晶向指数
确定步骤： A：确定原点，建立坐标系，过原点作所求晶向的 平行线， B：求直线上任一点的坐标值并按比例化为最小整 数，加方括弧，形式为[uvw]。
（5）晶带 Zone of planes
平行于或相交于某一晶向直线的所有晶面的组合称为晶带， 此直线叫做晶带轴(zone axis)，用晶向指数[uvw]标定。 这一组晶面叫做晶带面(zone planes)。
[u v w]
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面 （h k l）之间存在以下关系：
hu + kv + lw = 0
(002)
[110]
(200)
{200}
(020)
[110]
<110>
原子排列完全相同，只是空间位向不同的各组晶 向和晶面称作晶向族或晶面族，分别用{hkl}和 <uvw>表示。
立方晶系常见的晶向为：
100 : [100]、[010]、[001]



110 : [110]、[101]、[011]、[110]、[101]、[011] *2
u

2U 3

1V 3
v

2V 3

1U 3
t (u v)
w W
U u t V v t W w
练习题
1. 在立方晶系中画出(123)， (200)， (11-2)， (102-)晶面 2. 在立方晶系中画出[11-1]， [234]， [11-0]， [102]晶向
（2）晶面指数
Z
Y X
（2）晶面指数
Z
Y
X
确定步骤： A：确定原点，建立坐标系，求出所求晶面在三个 坐标轴上的截距， B：取三个截距值的倒数，并按比例化为最小整数， 加圆括弧，形式为（hkl）。
• Example 1.求截距为、1、晶面 的指数
• 截距值取倒数为0、1、0，加圆括弧 得（010）
代表晶格原子排列规 律的最小几何单元
晶胞选取
• 选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； • 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； • 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多； • 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶体结构的基本特征：
——原子（或分子）在空间呈周期性重复排列， 即存在长程有序
2nd
微观状态？
物质 原子、离子、分子 结合
结合键（bonding）
具体组合状态 结构（structure）
第二章 材料的结构
Structures of materials
在空间规则排列，存在长 程有序long-range order
晶体结构
crystal structure
长程无序，但在几个原子 距离范围内有序，即短程 有序short-range order
h1k1l1
(h3k3l3)
(h2k2l2)
若已知两个不平行的晶面(h1k1l1)和(h2k2l2)，则其晶带 轴指数[uvw]为：
u v w

h1
k1
l1

h2 k2 l2
u k1l2 k2l1 v l1h2 l2h1 w h1k2 h2k1



111 : [111]、[111]、[111]、[111]
<111>
Z [111]
[111]
[111]
Байду номын сангаас
[111]
Y
X
还有四条与之相反的矢量！
立方晶系常见的晶面族为：
{100} : (100)、(010)、(001)



{110} : (110)、(101)、(011)、(110)、(101)、(011)
or
u:v:w
k1
l1 : l1
h1 : h1
k1
k2 l2 l2 h2 h2 k2
已知两晶向(u1v1w1)和(u2v2w2)，由此决定的晶面指数(hkl)为：
h k l

u1
v1
w1

u2 v2 w2
h v1w2 v2w1 k w1u2 w2u1 l u1v2 u2v1
（6）晶面间距 Interplaner distance
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。