J xy J xy 1 1 Mx Mx My My Mx 式中，M y ； k Jy k Jx
； k 1 J J x y
2 J xy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
A xtds S y
—静矩
A
y 2tds J x
2 x A tds J y —惯性矩
A xytds J xy
—惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z

ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0
当x，y轴是任意形心轴的情况，J xy 0
正应力的计算公式为:

My Jy x Mx N y z Jx A0
Mz
z
My
Qy o
Nz
力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , N z 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中， M z 、 Q x 、 Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
Nzi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
Ai i Ai ，这时对 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
J y 称为主形心惯性矩，且 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ，
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
bJ x M x
6.1.2 剖面坐标系及符号规定
（1）坐标系 x轴和y轴在剖面 内，z轴平行于母线 （展向）， x 、 y 、 z 构 成右手坐标系。 通常坐标原点位 于剖面上全部能够承 受正应力的面积的形 心上。
y
x
z
（2）剖面内力
M x , M y , M z , Qx , Qy , N z
y
矢量正方向与坐标轴正向 一致。
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t2
E3 , t3
梁腹板
E4 , t4
x
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
Ei i E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i


n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n


q
q q(s) 剪流 q t ，
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E(ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
z
z
y
My
t
Q y ds
Nz
( x, y)
o
Qx
Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds 。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E(ax by c) ax by c