2016人大附中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题）.1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（ ）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（ ）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+14．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（ ）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（ ）A． B． C． D．7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（ ）A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，0）8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（ ）A． B． C．[2，+∞） D．二、填空题（本大题共6小题）．9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}， ， ．10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）= ．11．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有 人．12．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m的取值范围为 ．13．（3分）函数单调减区间为 ．14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f（x）为有界函数，下列函数是有界函数的是 ①y=2x+1②y=﹣x2+2x③y=2x﹣1④y=lnx（x∈（1，e]）⑤y=2﹣|x|⑥．三、解答题15．计算下列指、对数式的值（Ⅰ）（Ⅱ）．16．已知（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．17．已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．19．已知分段函数f（x）=．（1）求实数c的值；（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），（Ⅰ）例如A 3=，则R1（A3）= ，t（A3，R1（A3））= ；若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列（Ⅱ）当n=3，写出所有的n位排列，并求出所有的最佳排列A3；（Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A5．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）.1．【解答】由于函数y=y=lg（x﹣1）有意义，∴x﹣1＞0，即x＞1集合A={x|y=lg（x﹣1）}=（1，+∞）由于全集U=R，所以C U A=（﹣∞，1]，故选：B．2．【解答】若在M中的任意一个元素，在N中都有唯一的元素对应，则M到N的对应叫映射，A、B、D符合映射的定义，是映射，C中，M的元素b在N中有两个对应的元素，不符合映射的定义，不是映射．故选：C．3．【解答】∵函数f（x）是一次函数，∴其解析式可以假设为f（x）=kx+b （k≠0），∵函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），∴f（0）=1，f（﹣1）=3，∴b=1，k=﹣2，∴f（x）=﹣2x+1，故选：D．4．【解答】由2x﹣3=5，解得x=4．∴f﹣1（5）=4．故选：A．5．【解答】∵a=20.1＞20=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，c=log0.34＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．【解答】f（﹣x）===f（x），所以函数f（x）为偶函数，故图象关于y轴对称，故排除B，D，由fʹ（x）=，当x＞0时，fʹ（x）为减函数，故f（x）的切线的斜率越来越小，故f（x）增加的越来越慢，故选：A．7．【解答】f（﹣2）=﹣8+2+2=﹣4＜0，f（﹣1）=﹣1+1+2=2＞0，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在零点，故选：C8．【解答】∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，作出函数f（x）的草图：如图：由不等式f（2x﹣1）≥0得2x﹣1≥3或2x﹣1=0或﹣3≤2x﹣1＜0，即x≥2或x=或﹣1≤x＜，综上x≥2或﹣1≤x≤，即不等式的解集为，故选：B二、填空题（本大题共6小题）．9．【解答】集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}．故答案为：∅，{a，b}．10．【解答】令t=x+1，则x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）211．【解答】由题意可得到只参加物理兴趣小组的人数为15﹣5﹣4=6人，故答案为：612．【解答】如图所示．由题意，x≤0，0＜3x≤1，x＞0，f（x）≤2，∵方程f（x）=m有两解，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．13．【解答】由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，设t=2x﹣x2，∵y=log2t为增函数，∴要求单调减区间，即求函数t=2x﹣x2（0＜x＜2）的递减区间，∵当1≤x＜2时，函数t=2x﹣x2为减函数，故函数f（x）的单调递减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．14．【解答】若函数f（x）为有界函数，则函数的值域是有界的．①y=2x+1的值域为R，故不是有界函数，②y=﹣x2+2x的值域为（﹣∞，1]，故不是有界函数，③y=2x﹣1的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是有界函数，④y=lnx（x∈（1，e]）的值域为（0，1]为有界函数；⑤y=2﹣|x|的值域为（0，1]为有界函数；⑥．的值域为（﹣1，1）为有界函数；故答案为：④⑤⑥三、解答题15．【解答】（Ⅰ）=×=×==3．（Ⅱ）=1+3×5=16．16．【解答】（1）∵f（x）=log2x，g（x）=9﹣x2，∴y=f[g（x）]=（﹣3＜x＜3）；（2）f[g（1）]=log28=3，f[g（﹣1）]=log28=3；（3）偶函数，证明：定义域为（﹣3，3），关于原点对称，∵y=f[g（x）]=，∴f[g（﹣x）]=，∴y=f[g（﹣x）]=y=f[g（x）]，∴y=f[g（x）]为偶函数．17．【解答】（Ⅰ）∵，∴f（﹣1）==，f（1）==；（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，∴＜，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．18．【解答】（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=，∴f（a）+f（）=f（1）=0；（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，∵f（1）=0，∴在定义域内只有一个零点x=1；（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），∴（m+1）（2m﹣1）＜0，∴﹣1＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜19．【解答】（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即20=c，因此c=1（2）因为a=1，所以，所以由解析式可知：f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞）（3）由解析式知：当x≤0时：函数没有零点当x≥0时：f（x）=（ax﹣1）（x﹣1），此时函数一定有一个零点x=1令h（x）=ax﹣1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：当a=0时，此函数没有零点，符合题意当a＜0时，此函数没有零点，符合题意当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意所以：当a∈（﹣∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点20．【解答】（Ⅰ）当A 3=，R1（A3）=，t（A3，R1（A3））=1﹣2=﹣1，故答案为：，﹣1…（4分）（Ⅱ）当n=3时，所有的3位排列有：，，，，，，，最佳排列A 3为，，，，， …（8分）证明：（Ⅲ）设A 5=，则R1（A5）=，因为t（A5，R1（A5））=﹣1，所以|a1﹣a5|，|a2﹣a1|，|a3﹣a2|，|a4﹣a3|，|a5﹣a4|之中有2个0，3个1．按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得t（A5，R1（A5））=﹣1，从而不存在最佳排列A5． …（12分）。