月球探测器登月着陆轨道优化设计摘要：为研究月球着陆器从着陆准备轨道向月面软着陆的最优控制问题，在考虑月球自转基础上，以减小燃耗和安全避障为指标，综合考虑天体对着陆器引力、月球自转、发动机推力等因素对着陆器绕月飞行的影响，将着陆器的登月过程分解为准备轨道、减速下降、姿态调整、避障着陆等几个阶段，对不同阶段的轨道定位、动力控制和着陆安全性问题进行了建模分析和计算优化。

针对第一问，运用开普勒第三定律和万有引力定律等动力学模型对着陆器绕月轨道=1.692×103m/s，的速度、姿态及落点等进行高精度定量分析，得到结果如下：速度v近=1.614×103m/s，方向为该点所在的椭圆轨道切线方向。

近月点坐标为v远（1752km, 199.51。

, 44.12。

）。

，远月点坐标为（100km, (18.47−2.08k)。

,− 44.12。

）。

针对第二个问题提出的轨道的最优控制问题，本文针对着陆器着陆过程中的下落过程利用动力学微分方程、霍曼变轨和轨道优化理论进行了建模，利用龙格库塔四阶方法求出不同控制策略下着陆器运动状态的数值解，利用模拟退火算法对着陆器的控制策略和燃料消耗进行了优化，得出了优化后的控制轨道和相应的动力控制策略；针对避障扫描过程利用梯度分析和搜索算法，针对着陆过程中的安全性和着陆时间提出了着陆方案。

最后，本文针对计算过程中可能引入的误差和太阳、地球等其他天体、月球自转可能引起的误差进行了分析，考察论证了计算结果的精度。

同时对于实际着陆器运行时可能产生的参数变化进行了敏感性分析，主要考虑推力F变化带来的影响，对控制方案的稳定性进行了评价。

关键词：轨道优化模拟退火常微分方程龙格-库塔算法自主安全避障一、问题重述1.问题背景月球的开发和利用对人类的发展具有重要的意义,目前世界主要航天国家都已经开展了各自的月球探测计划。

我国也早已启动自己的月球探测计划——“嫦娥工程”,嫦娥三号”任务是我国探月工程“绕、落、回”三步走中的第二步，也是阿波罗计划结束后重返月球的第一个软着陆探测器。

它实现了我国航天器首次在地外天体软着陆。

2.提出问题准确软着陆的关键是着陆轨道与控制策略的设计。

本论文中尝试解决以下问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

二、问题分析对于第一问，分析月球、地球、太阳等天体对嫦娥三号的引力、月球扁率等因素对着陆点的影响，并判断是否可以忽略以简化计算。

另外，应充分考虑月球自转的影响。

再运用开普勒第三定律和牛顿万有引力定律等列动力学方程组解得近远月点的坐标、速度的大小和方向。

对于第二问，要实现软着陆的最优控制，确定嫦娥三号的着陆轨道，需要从节省燃料和确保安全着陆两个方面考虑，其中前三个阶段主要考虑节省燃料的问题，第四阶段粗避障阶段综合考虑安全和节能两个方面，第五、第六阶段以安全着陆为重点，兼顾节约能源。

根据以上设计目标，本论文给出着陆器在各个阶段不同的飞行设计方案如下：1）对于着陆准备阶段，主发动机在远月点施加冲量进行霍曼变轨，只进行一次引擎推进减速，最大程度利用天体间引力为着陆器提供飞行动力，使着陆器从远月点高度沿椭圆轨道降低到近月点高度，以节省燃料。

2）对于主减速阶段，主发动机持续工作较长时间，燃料消耗巨大。

故应当基于动力学方程建立飞行器的最优轨道控制模型来尽量减小燃料消耗。

考虑到问题的求解较难，本文采取模拟退火算法求得最优解。

3）对于快速调整阶段，为了衔接主减速段和后续粗避障段，着陆器的姿态发生较大变化。

为了防止发动机熄火等因素，必须令发动机推力平缓变化。

同时基于快速以及节约燃料等因素加以综合考虑。

4）对于粗避障阶段，其主要目的是在较大着陆范围内剔除明显危及着陆安全的大尺度障碍，为精避障提供较好的安全点选择区域，避免出现近距离精避障避无可避的风险，整体提高系统安全着陆概率。

本文拟运用梯度分析的方法找到安全着陆区域，基于确保着陆器成像因素，实际采用下降轨道接近与水平面夹角约45°的直线下降方式逐步靠近着陆区。

一旦接近着陆区，着陆器开始悬停。

5）对于精避障阶段，主要是在粗避障选取的较安全区域内进行精确的障碍检测，确保识别并剔除危及安全的小尺度障碍，确保落点安全。

下落过程中，采用分类处理措施，根据不同的距离，采取不同的下落速度，以节省燃料。

6）对于缓慢下降阶段，为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度，着陆器要以较小的设定速度匀速垂直下降，并保持着陆器水平姿态。

从约30m高度垂直下降到离着陆点上方约4m的位置。

对于第三问，本文回顾了在计算前两个问题时为了简化计算而忽略的可能引发误差的因素，如地球、太阳等其他天体、月球的偏心率等问题对实际计算结果的影响，以及文中采用的数值计算方法的精确性，分析了文章中得出的计算值与实际值之间的误差范围，对计算结果的精确性进行了评价。

在对敏感性进行分析的过程中，本文主要考虑在着陆器实际运行时运行参数与理论值之间可能存在的差异，讨论了当发动机最大推进力、着陆器飞行姿态等参数与理论值存在偏差时计算结果产生的变化，对计算结果和控制方案的稳定性进行了评价。

三、问题假设1．假设月球表面及绕月轨道为绝对真空，不存在任何空气阻力；2. 假设着陆器在真空中进行姿态调整的速度足够快，调整时间可以忽略不计；3. 假设着陆器的质量仅随燃料消耗而减小，不因其他因素发生变化；4. 假设着陆器初始燃料质量不小于1.4t；5. 假设着陆器始终工作正常，运行参数不随环境发生变化。

四、定义变量m：嫦娥三号质量；M：月球质量；G：万有引力常数；μ：月球引力常数；R：月球平均半径；r：着陆器距月心距离；（ϕ，θ）：着陆器经纬度；v e：着陆器比冲；F：着陆器主发动机推力；h i：阶段i嫦娥三号距月面的瞬时高度；v i：中嫦娥三号的瞬时速度；m i：阶段i中嫦娥三号的瞬时质量；ε(X)：误差X对结果的影响量级。

五、模型建立与假设1.近月点和远月点模型建立选嫦娥三号为对象进行受力分析，由于月球表面不存在稠密的大气层,月球卫星的运动无能量耗散问题。

其运动主要受到月亮、地球、太阳等其他星体对其产生的引力以及主发动机的推动力，根据万有引力定律F=G MmR2，得：月球对其引力：F月=3.47×103N地球对其引力：F地=6.49N太阳对其引力：F日=1.42×10 N其中，取万有引力常数G=6.67×10−11N⋅m2⋅kg−2,嫦娥三号在100km环月圆轨道上的飞行重量m=2.4×103kg,月球质量M=7.35×1022kg，环月圆轨道高度r环=105m,月球平均半径R=1.74×106m，地球质量M地=5.98×1024kg，地球与嫦娥三号距离取月地平均距离r地=3.84×108m，太阳质量M日=2.0×1030kg，太阳与嫦娥三号距离取日地平均距离r地=1.50×1011m。

随着轨道高度的降低，月球引力逐渐增大，而其他引力基本不变。

可见F月≫F地、F日，因此只需考虑月球对其的万有引力影响，地球、太阳等其他天体可以忽略不计。

现在考虑月球扁率对其影响，月球的赤道半径R赤=1737.646km，极区半径R极=1735.843km，而着陆点位于北纬44.12。

，半径介于二者之间。

若把极区半径当成赤道半径计算，其误差影响(η)为：η=F极−F赤赤=(R赤2R极2−1)×100%代入数据，算出值为0.207%，而实际上扁率影响还要远小于该值，因此扁率影响可以忽略不计，把月球看作一个球体，取月球的实际平均半径R=1737.013km。

现在考虑着陆点与近月点的经纬度关系。

如图1，以月心为极点建立如图所示球极坐标系，则着陆点的经纬度可以表示为（ϕ，θ）。

其中，ϕ=199.51。

，θ=44.12。

当着陆点在水平方向改变1km 时，其精度改变为：Δϕ=12πR cos θ=0.000128。

当着陆点在竖直方向改变1km 时，其精度改变为：Δθ=12πR=0.0000916。

因此后面阶段对经纬度影响可以忽略不计，可以把着陆点经纬度等价于近月点经纬度。

在此球极坐标系中，近月点坐标为（1752km, 199.51。

, 44.12。

）。

如图2，根据万有引力定律提供向心力GM r 2=m ∙v 2r推得嫦娥三号在100km 环月圆轨道上的飞行速度为v 环=√μR +r 远其中，月球引力常数μ=GM =4.902×1012N ⋅m 2⋅kg −1，代入数据v 环=1.633×103m/s在椭圆轨道运动过程中，嫦娥三号总机械能守恒，且在轨道上运动的机械能E 等于其动能和势能之和，同时根据开普勒第三定律，列出方程如下：图2 图1{v近v远=R+r远R+r近E A=1mv近2−μm近E B=12mv远2−μmR+r远E A=E B解得：v 近=1.692×103m/s，v远=1.614×103m/s，方向为该点所在的椭圆轨道切线方向。

不考虑月球自转情况，因为远月点与近月点的经纬度关于月心对称，故远月点坐标为（100km, 19.51。

,− 44.12。

）。

现考虑月球自转对经度的影响。

根据开普勒三大定律，可以推导得椭圆轨道周期公式：T=2π√a3而由远月点到近月点，正好为椭圆轨道的一半，算得其时间t=（2k+1）T/2=(2k+1)6822s，其中k为沿椭圆轨道绕月旋转圈数。

其值由着陆器具体绕月情况即可确定。

月球自转周期T转=27.32166日=2.361×106s。

因此自转对经度带来的影响∆ϕ=(2k+1)68222.361×106×360。

=(2k+1)×1.040。

修正后的远月点坐标为（100km, (18.47−2.08k)。

,− 44.12。

）2.6个阶段的着陆轨道及最优控制策略1)着陆准备轨道其最优变轨策略为霍曼变轨方法。

霍曼变轨是一该阶段由远月点变轨至近月点。

种空间常用变轨方法，途中只需分别在远月点和近月点进行减速，相对地节省燃料。

具体操作如下：Δm=∫Fdt v e其中，t为该阶段所用时间。

由于v e是定值，因此只要推力产生的冲量越小，其燃料消耗也就越小。

而该阶段动量及质量公式为{m10v10−m1f v1f=∫Fdt m10−m1f=∫Fdtv e其中，v10=v环，v1f=v B。

把∫Fdt看作一个整体，根据二元一次方程组解的唯一性，得到无论F取何值，∫Fdt 都为一定值。

因此，基于减小月球引力对变轨的影响这一因素考虑，这里推力取最大值F=7500N。