20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分()()40951.01091155=-=-=A P A P ．…………….6分二．（本题满分8分）设随机事件，，满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()161==BC P AC P ．求随机事件，，都不发生的概率． 解：由于AB ABC ⊂，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有()0=ABC P ．…………….2分所求概率为()C B A P ．注意到C B A C B A ⋃⋃=，因此有…………….2分()()C B A P C B A P ⋃⋃-=1…………….2分()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=183016116104141411=-+++---=．…………….2分 三．（本题满分8分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，()10<<p ．求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率． 解：{}次命中目标次射击时恰好第第26P{}次射击时命中目标次目标，第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ⋅=…………….2分()()424115151p p p p p C -=⋅-=．…………….4分四．（本题满分8分）某种型号的电子元件的使用寿命（单位：小时）具有以下的密度函数：()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=10000100010002x x x x p ．⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于20**小时的概率（4分）． 解：⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ，则(){}()321000100015001500150021500=-===>=+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P A P ．…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ，则所求概率为()A B P ．()()(){}(){}()A P X P A P X X P A P AB P A B P 20002000,1500>=>>==．…………….2分 而 {}()211000100020002000200022000=-===>+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P ， 所以， (){}()4332212000==>=A P X P AB P ．…………….2分 五．（本题满分8分） 设随机变量服从区间[]2,1-上的均匀分布，而随机变量⎩⎨⎧≤->=0101X X Y ． 求数学期望()Y E ． 解：(){}(){}1111-=⨯-+=⨯=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤⨯-+>⨯=X P X P …………….2分()()⎰⎰⎰⎰-∞-+∞-=-=0120003131dx dx dx x p dx x p X X313132=-=．…………….4分 六．（本题满分8分）设在时间（分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!，() ,2,1,0=k ．…………….2分因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为(){}λλ-==e k k X P k!1，() ,2,1,0=k ．由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．…………….3分因此，(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ．…………….3分 七．（本题满分8分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<=其它020,101,xy x y x f 求：⑴随机变量边缘密度函数()y f Y （4分）；⑵ 方差()Y D （4分）． 解：⑴()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,．因此，当0≤y 或者2≥y 时，()0=y f Y ．…………….1分 当20<<y 时，()()2,2y dx dx y x f y f yY ===⎰⎰∞+∞-．所以， ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202y y y f Y ．…………….3分⑵()()3462120322====⎰⎰+∞∞-ydy y dy y yf Y E Y ． ()()28212420322====⎰⎰∞+∞-y dy y dy y f y Y E Y …………….2分所以， ()()()()929162342222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ．…………….2分八．（本题满分8分）现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解：设：购买一张奖券所得的奖金． 则的分布律为所以，…………….2分()531000010002100001001010000102001000011000=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………….4分 再令表示购买一张奖券的收益，则2-=X Y ，因此()()572532-=-=-=X E Y E （元）．…………….2分 九．（本题满分8分）两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？附：标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值表解：设甲电影院应设个座位才符合要求．设1000名观众中有名选择甲电影院，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1000~B X ．…………….1分由题意，{}99.0≥≤N X P ．而()500211000=⨯=X E ，()25021211000=⨯⨯=X D ．…………….2分 所以，{}()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤250500250500N X P X D X E N X D X E X P N X P99.0250500≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈N …………….3分查表得33.2250500≥-N ，所以有 84.53625033.2500=⨯+≥N ． 所以，应至少设537个座位，才符合要求．…………….2分十．（本题满分8分） 设总体的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0102x x x f ， ()n X X X ,,,21 是从总体中抽取的一个简单随机样本．令()()n n X X X X ,,,max 21 =，试求()n X 的密度函数()()x f n ． 解：总体的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1110002x x x x x F ．…………….3分 因此()n X 的密度函数为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==--其它102121x x x n x f x F n x f n n n …………….4分⎩⎨⎧<<=-其它010212x nx n ．…………….1分十一．（本题满分12分） 设总体的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+ααβαβαββx x x x f 01，； ，其中1,0>>βα为参数，()n X X X ,,,21 是从总体中抽取的一个简单随机样本．⑴ 当1=α时，求未知参数的矩估计量（6分）；⑵ 当1=α时，求未知参数的最大似然估计量（6分）． 解：⑴当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，；， 所以，()()1111-==⋅==⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞-βββββαββdx x dx xx dx x xf X E ，；．…………….2分解方程：()1-=ββX E ，得解：()()1-=X E X E β．…………….2分 将()X E 替换成，得未知参数的矩估计量为1ˆ-=X X Mβ．…………….2分 ⑵当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，；， 所以，似然函数为()()()111+-===∏ββββi n ni i x x f L ，；，()()n i x i ,,1,1 =>．…………….2分所以，()()()n x x x n L 21ln 1ln ln +-=βββ． 对求导，得()n x x x nL 21ln ln -=∂∂ββ．…………….2分 令0ln =∂∂βL ，得方程()0ln 21=-n x x x nβ． 解得 ()n x x x n21ln =β．因此，的最大似然估计量为 ()n X X X n21ln ˆ=β．…………….2分十二．（本题满分8分） 设总体()2,~σμNX ，()n X X X ,,,21 是从总体中抽取的一个简单随机样本．与分别表示样本均值与样本方差．令nS X T 22-=，求()T E ，并指出统计量是否为的无偏估计量．解：()μ=X E ，()nX D 2σ=，…………….2分由 ()()()()22X E X E X D -=，得()()()()2222μσ+=+=nX E X D XE ．…………….2分又 ()22σ=S E ，所以有…………….1分()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n S E X E n S X E T E 2222()2222μμσ=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n S E n ．…………….2分 这表明nS X T 22-=是的无偏估计量．…………….1分。