第一章滤波器1.1 滤波器的基本知识1、滤波器的基本特性定义：滤波器是一种通过一定频率的信号而阻止或衰减其他频率信号的部件。

功能：滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统，具有滤除噪声和分离各种不同信号的功能。

类型：按处理信号形式分：模拟滤波器和数字滤波器。

按功能分：低通、高通、带通、带阻、带通。

按电路组成分：LC无源、RC无源、由特殊元件构成的无源滤波器、RC有源滤波器按传递函数的微分方程阶数分：一阶、二阶、…高阶。

如图1.1中的a、b、c、d图分别为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器传输函数的幅频特性曲线。

图1.1 几种滤波器传输特性曲线 .2、模拟滤波器的传递函数与频率特性 （一）模拟滤波器的传递函数模拟滤波电路的特性可由传递函数来描述。

传递函数是输出与输入信号电压或电流拉氏变换之比。

经分析，任意个互相隔离的线性网络级联后，总的传递函数等于各网络传递函数的乘积。

这样，任何复杂的滤波网络，可由若干简单的一阶与二阶滤波电路级联构成。

（二）模拟滤波器的频率特性模拟滤波器的传递函数H(s)表达了滤波器的输入与输出间的传递关系。

若滤波器的输入信号Ui 是角频率为w 的单位信号，滤波器的输出Uo(jw)=H(jw)表达了在单位信号输入情况下的输出信号随频率变化的关系，称为滤波器的频率特性函数，简称频率特性。

频率特性H(jw)是一个复函数，其幅值A(w)称为幅频特性，其幅角∮(w)表示输出信号的相位相对于输入信号相位的变化，称为相频特性（三）滤波器的主要特性指标 1、特征频率：（1）通带截止频f p=wp/(2)为通带与过渡带边界点的频率，在该点信号增益下降到一个人为规定的下限。

（2）阻带截止频f r=wr/(2)为阻带与过渡带边界点的频率，在该点信号衰耗(增益的倒数)下降到一人为规定的下限。

（3）转折频率f c=wc/(2)为信号功率衰减到1/2(约3dB)时的频率，在很多情况下，常以fc 作为通带或阻带截频。

（4）固有频率f0=w0/(2)为电路没有损耗时，滤波器的谐振频率，复杂电路往往有多个固有频率。

2、增益与衰耗（1）对低通滤波器通带增益Kp 一般指w=0时的增益也用A （0）表示；高 通指w→∞时的增益也用表示；带通则指中心频率处的增益。

（2）对带阻滤波器，应给出阻带衰耗，衰耗定义为增益的倒数。

()A（3）通带增益变化量△Kp指通带内各点增益的最大变化量，如果△Kp以dB 为单位，则指增益dB值的变化量。

3、阻尼系数与品质因数阻尼系数是表征滤波器对角频率为w0信号的阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标我们用表示。

阻尼系数的倒数称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，Q= w0/△w。

式中的△w为带通或带阻滤波器的3dB带宽， w0为中心频率，在很多情况下中心频率与固有频率相等。

4、灵敏度滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响滤波器的性能。

滤波器某一性能指标y对某一元件参数x变化的灵敏度记作Sxy，定义为：Sxy=(dy/y)/(dx/x)。

该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。

5、群时延函数当滤波器幅频特性满足设计要求时，为保证输出信号失真度不超过允许范围，对其相频特性∮(w)也应提出一定要求。

在滤波器设计中，常用群时延函数d∮(w)/dw评价信号经滤波后相位失真程度。

群时延函数d∮(w)/dw越接近常数，信号相位失真越小。

（四）二阶滤波器的传输特性1、二阶低通滤波器二阶低通滤波器的传递函数的一般形式为（1-1）它的固有频率为a01/2，通带增益Kp=b0/a0，阻尼系数为a1/w0。

其幅频特性与相频特性为：（1-2）（1-3）2、二阶高通滤波器二阶低通滤波器的传递函数的一般形式为（1-4）其幅频特性与相频特性为（1-5）（1-6）3、二阶带通滤波器二阶带通滤波器的传递函数的一般形式为（1-7）其幅频特性与相频特性分别为（1-8）（1-9）4、二阶带阻滤波器二阶带阻滤波器的传递函数的一般形式为（1-10）其幅频特性和相频特性为（1-11 ）5、二阶全通滤波电路（移相电路）二阶全通滤波电路的传递函数的一般形式为（1-12）其幅频特性为常数，相频特性为（1-13）1.2 滤波器的逼近低通滤波器是一个通过低频信号而衰减或抑制高频信号的部件。

理想的低通滤波器幅度响应如图1.2.1，可以实现的近似理想特性的幅度响应如图1.2.2所示。

在理想情况下，可以清楚的指出通带（0<w<wc）和阻带（w>wc）;但在实际情况下，必须定义截止角频率wc。

Wc定义为当H（jw）下降到最大值的0.707倍时的频率。

图1.2 理想特性曲线图1.3 实际逼近曲线当然理想低通滤波器要求幅频特性A(w)在通带内为一常数，在阻带内为零，没有过渡带，还要求群延时函数在通带内为一常量，这在物理上是无法实现的。

实践中往往选择适当逼近方法，实现对理想滤波器的最佳逼近。

可以用下面的传递函数对理想特性加以逼近（1-14）上式表示一个n 阶全极点近似式，，其所以这样称呼是因为他的分母多项式为n 次幂而分子为常数（因而它没有有限零点，只有有限极点）。

低通滤波器的增益是传递函数在s=0时的值，很明显在上式里增益就是G 。

有许多种低通滤波器，它们的传递函数为上式的类型。

如巴特沃兹逼近、切比雪夫逼近、贝塞尔逼近。

而其它几种滤波器都可由低通滤波器变换得到，我们在这儿不赘述具体变换方法。

（一）巴特沃斯逼近这种逼近的基本原则是使幅频特性在通带内最为平坦，并且单调变化，但过渡带衰减较为缓慢。

其幅频特性为（1-15）n 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为（1-16）其中 （1-17） 其幅频特性与相频特性如图：110....onn in u Gb u s b s b --=+++图1.4 巴特沃兹滤波器的幅频及相频特性曲线（二）切比雪夫逼近这种逼近方法的基本原则是允许通带内有一定的波动量△Kp，其特点为等起伏波动，但过渡带衰减陡峭。

其幅频特性为（1-18）幅频特性曲线如图：图1.5 切比雪夫滤波器的幅频特性曲线（三）贝赛尔逼近这种逼近与前两种不同，它主要侧重于相频特性，其基本原则是使通带内相频特性线性度最高，群时延函数最接近于常量，从而使相频特性引起的相位失真最小。

其特点是各频率分量具有线性相移，即群延迟/dw 接近于常数，相位失真小，但幅频特性过度带很长，带外衰减缓慢；图1.6 贝塞尔滤波器的幅频及相频特性曲线1.3 几种RC 滤波器的常见电路1.3.1 低通滤波器 1、一阶RC 低通滤波器 下图所示RC 串联电路图1.7 一阶RC 低通滤波器其负载端开路时电容电压对输入电压的转移电压比即传输函数为：（1-19）截止频率：dϕRC C R CU U H ωωωωj 11j 1j 1)j (12+=+==（1-20）幅频特性：（1-21）相频特性为：（1-22）2、二阶RC 低通滤波电路图1.8 二阶RC 低通滤波器传输函数：（1-23）幅频特性：（1-24）01ωRC =()H jw w =⎛()0arctan w w w θ=)(|)j (|j311)j (22212ωθωωωω∠=+-==H RC C R U U H |(j )|H ω=相频特性：（1-25）2223 ()arctan 1RC R C ωθωω⎛⎫=- ⎪-⎝⎭3、一阶有源低通滤波器图1.9 一阶有源低通滤波器其传递函数为： （1-26）幅频特性：（1-27）其中。

（1-28） 相频特性：0(0)()1/A H jw jw w =-+()H jw 021/w R C =（1-29）2()arctan jw R C ϕπ=--一阶低通滤波器的优点是简单，缺点是特性偏离理想特性过远，阻带区衰减太慢，衰减斜率仅为-20db/十倍频程，使用于要求不高的场所。

4、二阶有源低通滤波器图1.10 二阶有源低通滤波器传递函数为（1-30）该传递函数有两个共轭极点而没有零点，上式中 R1=R2=R 、、、。

二阶低通滤波器可增加阻带区得衰减速度，在阻带区，它能提供-4db/十倍频程的衰减。

1.3.2 高通滤波器与低通滤波器相反，高通滤波器用来通过高频信号，抑制或衰减低频信号。

202200(0)()A w H s ws s w Q =++01w RC =431R K R =+13Q k=-理想高通滤波器的特性如图。

实际特性只能接近理想特性如图。

图1.11 理想特性 图1.12 实际逼近1、一阶RC 无源高通滤波电路对下图所示 RC 串联电路，电阻电压对输入电压的转移电压比为图1.13 无源高通滤波器（1-31）（1-32）2、二阶R 无源高通滤波电路RC RCC R R U U H ωωωωj 1j j 1)j (12+=+== 01ωRC ==图1.14 二阶无源高通滤波器 其传递函数为（1-33）3、一阶有源高通滤波器图1.15 一阶有源高通滤波器其传递函数为： （1-34）式中 （1-35） 幅频特性为：（1-36）相频特性为：（1-37）RC C R C R U U H ωωωωj31)j (22222212+--==210/()1/R R H jw jw w=--0111/w R C=()H jw =0()arctan(/)w w w ϕπ=-+4、二阶有源高通滤波器图1.16 二阶有源高通滤波器其传递函数（1-38）幅频特性：（1-39）相频特性：（1-40）式中、、、。

.1.3.3 带通滤波器带通滤波器用来通过某一频段的信号，将此频段两端以外的信号加以抑制或衰减，带通滤波器的理想特性和实际特性可用下图说明200()()1(/)2/A H jw w w j w wε∞=--()H jw =0202/()arctan1(/)w w w w w εϕ=-43()1/A R R ∞=+12R R R ==12C C C ==01/w RC =1/2(24/3)R R ε=-图1.17 理想特性 图1.18 实际特性1、 RC 无源带通滤波器图1.19 RC 无源带通滤波器（1-41）仿真得到他的幅频特性曲线为:2、有源带通滤波器RC C R RCU U H ωωωωj31j )j (22212+-==图1.20 有源带通滤波器其传递函数为（1-42）幅频特性（1-43）相频特性（1-44）式中、、（1-45）（1-46）:1.3.4 带阻滤波器与带通滤波器相反，带阻滤波器专门用来抑制或衰减某一频段的信号，而让000()()1(//)A w H jw iQ w w w w -=+-()H jw =00()arctan (//)w Q w w w w ϕπ=---12C C C ==031()/2A w R R =0w =1/Q =该频段以外的所有信号通过，带阻滤波器抑制的频段带宽叫阻带带宽，简称频宽，用B表示，抑制频带中点所在角频率叫做中心角频率，用w0表示。