Leslie种群年龄结构的差分方程模型
摘要
本文对带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题建立了差分方程模型进行分析，用MATLAB做出其图像讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目在不同条件下的演变趋势。
针对问题一，用k时段2周后幼虫数量、2到4周虫的数量、4到6周虫数量之间的关系建立了差分方程模型一，利用MATLAB计算得出结果。
针对问题二，用MATLAB做出差分方程模型一在0-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势，分析年份足够长时的情况。
得出的结论：各周龄的昆虫比例没有一个稳定值，整个昆虫的数量在无限增长。
针对问题三，把差分方程模型一中的成活率改成原来的一半得到了差分方程模型二，用MATLAB做出图像进行分析。
得出结论：这种除虫剂的效果不明显。
关键词：Leslie矩阵，差分方程，MATLAB，除虫剂
一 、问题重述
已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。
孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。
假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
（1） 假设开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6
周后各种周龄的昆虫数目；
（2） 讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有
一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？
（3） 假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除
虫剂是否有效？
二、 问题分析
本问题是要解决带年龄结构的单个生物种群的增长状况的问题，我们考虑用Leslie 矩阵模型进行分析。
问题一建立0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目之间的关系的模型，从而计算出结果；问题二用问题一的模型画出图像来分析各种周龄的昆虫数目的演变趋势；问题三只要把问题一的模型的成活率改成原来的一半建立新的模型，画出图像来分析昆虫数量的变化趋势，从而分析除虫剂的效果。
三 、模型假设
1. 假设开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同，且都为100。
2. 假设这地区没有这类昆虫的天敌出现。
3. 昆虫产的卵不会遭到破坏。
四 、符号说明
五、 模型的建立与求解
1.问题一：
将两周分成一个时段，设k 时段2周后幼虫数量为：)(1k x , 2到4周虫的数量为：)(2k x , 4到6周虫数量为：)(3k x 。
又开始时，0-2，2-4，4-6周龄的昆虫数目相同,我们将其数目设为100.即
100
)1()1()1(321===x x x
根据题意我们建立差分方程模型一：
⎪⎩⎪
⎨⎧⨯=+⨯=+⨯+⨯=+2
.0)()1(09.0)()1(150)(100)()1(23
12321k x k x k x k x k x k x k x
用MATLAB 求解得出：
2.问题二：
我们用模型一来分析各种周龄的昆虫数目的演变趋势，用MATLAB 画出第1-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势图形：
51015202530354045
50
28
由图可见当年份足够长时，0-2周龄的昆虫在无限制的增长，2-4周龄的昆虫也在增长，4-6周龄的昆虫相对很少。
各周龄的昆虫比例没有一个稳定值，整个昆虫的数量在无限增长。
3.问题三：
我们定义除虫剂有效是能有效的控制昆虫数量的增加，使其慢慢的趋于灭亡。
由各周龄的成活率减半可建立差分方程模型二：
⎪⎩⎪
⎨⎧⨯=+⨯=+⨯+⨯=+1
.0)()1(045.0)()1(150)(100)()1(23
12321k x k x k x k x k x k x k x
用MATLAB 画出使用除虫剂后第1-50时段的各种周龄的昆虫数目的演变趋势图
形：
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1
2
3
4
5
6
7
20
由图可分析得出当年份足够长时，整个昆虫的数量相比未使用除虫剂时有了一定的减少，但还在无限增长。
我们的结论是：这种除虫剂的效果不明显。
六 、模型的评价
Leslie 矩阵模型是种群生态学中的一个基础模型.它描述了带年龄结构的单个生物种群的增长状况.由于该模型是一种离散形式的确定模型,计算简单,易于理解和掌握。
故与其它模型相比,更加容易为大家接受和使用。
参考文献
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[5] 韩中庚. 数学建模方法及其应用(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，2009.6
附录
见附件。