{ε } = [ N ′( x)]{uie }
T 由应变能密度 W = ε Cε / 2 可得单元刚度
[ K ]e = ∫ [ N ′( x)]T C[ N ′( x)]dV
Ve
将所有单元组装，可得 总刚度矩阵
[ K ]{u} = {F }
节点总位移矢量
广义节点力矢量
常规单元
• 裂纹尖端应力场的奇异性要求网格划分足够细，网格尺寸一般为裂纹 尺寸的1/1000~1/100 • 求解平衡方程，得到各节点位移，取裂纹附近节点位移，根据
ξ = −1+ 2 r / l
u = ∑ N i ui
i =1 3
将二次常规单元边 中点移到1/4处
对等参单元
应变
ε=
du 1 3 l l 1 l u1 − 4 − 2 u2 + 2 − u3 = 2 − dr l 2 r r 2 r
⊙⊙⊙⊙ σ 2a
K I = σ πa 1+ κ u 2 ( x, a ) = σ a2 − x2 4µ
K II = σ πa 1+ κ u1 ( x, a) = σ a2 − x2 4µ
K III = σ πa σ u3 ( x , a ) = a2 − x2 4µ
应力强度因子的求解
一般情况
K = Yσ πa
Y为与裂纹体几何有关的参数 a为裂纹几何尺寸相关参数
σ为外载
应力强度因子的求解方法
• • • • • • • 普遍形式的复变函数方法 积分变换法 应力集中系数法 位错连续分布法 权函数法 边界配置法和边界元法 有限元法
权函数法
p(x) P*(x) p(x) P*(x) + =
∫
A
pi ui* dA
K (1) =
∫
A
pi ui* dA
对无线大板中长为2a且在裂纹面上作用一组方向相反力的裂纹问题
K
(1)
E * ∂ui* = pi ( x)m( x, a)dx, m( x, a) = −a 2 K * ∂a
∫
a
裂纹的权函数
对含中心裂纹（长度为2a)的无限大板
σ 2a 2a
σ
例子
在一含中心裂纹的无线大板中，裂纹中央处作用一 对集中力P, 如右图，试确定由该对集中力所引起 应力强度因子
K I = σ πa 1+ κ u 2 ( x, a ) = σ a2 − x2 4µ
2a
m( x, a ) =
权函数为
P I a
E * ∂u2 ( x, a ) a = 2K I ∂a π (a 2 − x 2 )
(1 + κ ) K II r (1 + κ ) K I r u1 (r , π ) = , u2 (r , π ) = 2µ 2π 2µ 2π 2µ u2 (r , π ) 2µ u1 (r , π ) KI = 2π , K II = 2π 1+ κ 1+ κ r r
常规单元法不能正确反映裂纹尖端奇异性，计算结果往往 常规单元法不能正确反映裂纹尖端奇异性， 不够精确
奇异单元
• 奇异应变三角单元
u1 = u10 + [(θ − θ j )u1i − (θ − θ i )u1 j ] r (θ i − θ j ) R r (θ i − θ j ) R
u2 = u 20 + [(θ − θ j )u2i − (θ − θ i )u2 j ]
• 奇异等参单元
r1 = 0, r2 = pl , r3 = l , ξ = −1, ξ 2 = 0, ξ 3 = 1
四分一奇异单元
本次课程小结
• 分别利用复变函数法和分离变量法求解了裂纹尖端场，表 明裂纹尖端应力具有负平方根奇异性。其强度即为应力强 度因子 • 从能量角度得到了能量释放率的概念，它与应力强度因子 2 2 2 之间具有一一对应关系，即 G = K I + K II + K III
E* 2µ
• 介绍了应力强度因子的求解方法—权函数法和有限单元法
pl (1-p)l
(1 − ξ )ξ (1 + ξ )ξ , N2 = 1 − ξ 2 , N3 = N1 = − , 2 2
1 2 3
实际单元
基本单元
由
r = ∑ N i ri = pl (1 − ξ 2 ) + l
i =1
3
(1 + ξ )ξ 2
ξ=
若p=1/4
− 1 ± 1 − 8(1 − 2 p)( p − r / l ) 2(1 − 2 p )
a
K = ∫ p( x)m( x, a)dx = ∫ Pδ ( x)
−a −a
a P dx = π (a 2 − x 2 ) πa
有限元法
• 有限元法是把所研究对象分为若干单元，对刚度有限元法，单元内的 位移可对单元节点位移插值而得到
{ui } = [ N ( x)]{uie }
位移插值函数
单元节点位移
∫
A
pi ui*dA
利用能量释放率的定义 G = −∂Π / ∂S
G T = G (1) + G * − ∂ ∂S
∫ALeabharlann pi ui* dA利用能量释放率与应力强度因子的关系
GI = K I2 / E *
∂ ∂S
( K (1) + K *) 2 / E* = ( K (1) ) 2 / E * +( K * ) 2 / E * + E* ∂ 2 K * ∂S
T
1
K (1) = K + K *
*
由叠加原理
ΠT = −
1 ( pi + pi* )(ui + ui* )dA 2 A 1 1 1 =− pi ui dA − pi*ui*dA − 2 A 2 A 2
∫ ∫
∫
∫ (p u
A
* i i
+ pi*ui )dA
Π T = Π1 + Π * −
1 2
∫
A
( pi ui* + pi*ui )dA = Π1 + Π * −