第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。

c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。

y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++2222221111112222221(12)(12)12()x z x z x z f f f a c a c a c----=--++2f =2222200022(1)2y fy f f y fy ''⇒==+又f =⇒2y '=设各边缘的法向平面为平面应变,有:31)sin sin ]22v k θθ=+- 其中34k μ=-当θπ=时24(1)v K E μ-=222216(1)2I r K E μπ-⇒=22021E ()41I K y acπμ⇒=-又202(1)ay E μσϕ-=14122222()(sin cos )I a K c a cϕϕφ⇒=+在椭圆的短轴方向上，即2πϕ=，有I ImaxK K φ== 危险部位 →椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子当a c =时→圆片状裂纹，2πφ=2I K π⇒=§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算一、表面浅裂纹的应力强度因子当a B （板厚）→线裂纹⇒可以忽略后自由表面对A 点应力强度的影响 欧文假设：半椭圆片状表面线裂纹I K 与深埋椭圆裂纹的I K 之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的I K 值之比。

I I I I K K K K =表边埋中又有：1220.1sin(1)tanI I AK W A K Wππ=+边中其中：A ----裂纹长度；W---板宽度 当1A W 时22sin A A W W ππ≈，tan A A W Wππ≈1.1I I K K ⇒≈≈边中1.1I I K K ⇒=表埋1.1I I K K φ⇒==埋表 →椭圆片状表面裂纹A 处的I K 值二、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹：引入前后二个自由表面⇒使裂纹尖端的弹性约束减少⇒裂纹容易扩展⇒I K 增大()I IK Me K ⇒=⋅表面（埋藏） 其中：Me —弹性修正系数，应大于1，由实验确定一般情况下12Me M M =⋅其中：1M —前自由表面的修正系数2M —后自由表面的修正系数关于Me 表达式两种形式的论述 1. 巴里斯和薛a ．0a c →时⇒接近于单边切口试样1 1.12M =b ．1a c→时⇒接近于半圆形的表面裂纹11M =利用线性内插法110.12(1)aM c=+-利用中心穿透裂纹弹性件的厚度校正系数⇒ 1222(tan )2B a M a Bππ=B —板厚a —裂纹深度 c —裂纹长度 当aB 时21M ≈⇒浅裂纹不考后自由表面的影响2. 柯巴亚希.沙.莫斯2110.12(1)2a M c=+-1222(tan )2B a M a Bππ=⇒表面裂纹的应力强度因子（应为最深点处）：I K Me φ=§2-4 其他问题应力强度因子的计算一、 Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算 复变数：iy x z +=，iy x z -=取复变解析函数：()x z p iq =+，11()z p iq ψ=+取应力函数：2()()()()z z zx z zx z ϕψψ=+++或Re[()()]z zx z ϕψ=+⇒满足双调和方程分析第一应力不变量：22'224Re[()]x y x z x yϕϕσσ∂∂+=+=∂∂ （推导过程略）对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹Ⅰ型：'Re Im x I I Z y Z σ=-， 'Re Im y I I Z y Z σ=+⇒ ||0||0|0()2Re 2x y IIZ ξξξσσ→→→+==Ⅱ型：'2Im Re x II II Z y Z σ=+ 'Re y II y Z σ=-000()|2Im |2|x y Z ξξξσσ→→→⇒+==ⅡⅡ ⇒Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量.000()|2|2|x y ξξξσσ+→→→+=+ⅠⅡ02)]|K iK ξ→⇒-ⅠⅡ 取复数形式的应力强度因子.K K iK =-ⅠⅡ00()|2|x y ξξσσ+→→⇒+=ⅠⅡ 又()4Re[()]x y x Z σσ'+=lim ()K Z ξ→'⇒=若采用z 坐标:()z aZ a K Z ξ→'=-⇒=选择()x z '满足具体问题的应力边界条件.⇒这种方法利用普遍形式函数求解应力强度因子.1144()()()()f F Z F Z ZF Z ZF Z =+++ (14(),()F Z F Z 为解析函数)---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式(或复变应力函数为普遍形式). 利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿透裂纹问题. 二、有限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算实际情况:应看成有限宽计算.→必须考虑的自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响.→在理论上得不到完全解.→通过近似的简化或数值计算方法→数值解.方法:边界配置法,有限单元法等.针对有限宽板问题:寻找一个满足双调和方程和边界条件的应力函数或复变解析应力函数.边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定K 值.边界配置法:计算平面问题的单边裂纹问题,只限于讨论直边界问题. 以三点弯曲试样为例进行说明.(1)威廉氏(Williams)应力函数和应力公式Williams 应力函数:121(1)2(,)[cos(1)cos(1)]2212j j j j j j j r C r j φθθθ∞+=+-=⋅--+++∑满足双调和方程4(,)0r φθ∇=.边界条件:裂纹上、下表面(2πθ=±),y σ和xy τ均为零.⇒上式满足. 在边界上的边界条件的满足如下确定:在有限宽板的边界上选取足够的点,如图,使这一点的边界条件满足⇒j C(1)(2)为了计算方便引入无量纲量:2j j j D C BW p =其中：B -试件厚度,W -试件宽度.⇒121(1)2(,)[cos(1)cos(1)]2212j jj j jpWr j j r D j BW φθθθ+∞=+-⎛⎫=⋅--++ ⎪⎝⎭+∑⇒221(,)y jjj pD A r x BWφσθ∞=∂==∂∑12{[2(1))]cos(1)(1)cos(3)]}22222j j j r j j j j jA W θθ-⎛⎫=⋅-+----- ⎪⎝⎭221(,)x jjj pD B r y BW φσθ∞=∂==∂∑21(,)xy jjj p D E r x y BWφτθ∞=∂==∂∂∑(2)K 的计算针对Ⅰ型裂纹:3(1sin sin )222x θθθσ=-3(1sin sin )222y θθθσ=+当0θ=时.y x σσ==0r →)00|y r K θ=→⇒=Ⅰ又因为当0θ=时,cos 1θ=,当j =1时在乘后与r 无关,而当2p2,3,4j =∞时在乘r 有关,当0r →时都为零.⇒1210111lim(){(21)1(1)1}222r p r K D BW W -→=⋅⨯--⋅--⋅Ⅰ1D = 应利用边界条件确定1D ,边界条件只个边界各点的应力,可利用不同的边界条件,a.应力.b.φ,n φ∂∂（n 为法向）.c. n φ∂∂,φτ∂∂(τ为切向) （3）借用无裂纹体内的边界条件求系数j D取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的.取m 个点分析,以2m 有限级数代替无限级数精度足够.对于不同的点有:2111[]my jjy j p D ABWσσ===∑12111[]mxyjjxy j p D EBWττ===∑ 其中1j E 已知,1[]xy τ由材料力学计算.⇒()p a K F BW W=Ⅰ 1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()a a a a a a F W W W W W W=-+-+其中4s W =标准试件,此式为美国SEM-E399规范§2-5 确定应力强度因子的有限元法不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的.一些实验方法、解析方法都有各自的局限性,而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场,而应力和位移场与K 密切相关,所以,可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算.一、位移法求应力强度因子Ⅰ型:3(,)1)cos cos ]22u r k θθθ=--3(,)1)sin sin ]22v r k θθθ=+- 有限元法⇒裂纹尖端位移(,)K r π⇒=Ⅰ，这种方法为外推法二、应力法求应力强度因子Ⅰ型: (,)()iy iy r f σθθ=有限元法⇒(,0)y r K σσ⇒=ⅠK r →Ⅰ的关系曲线外推K ⇒Ⅰ的准确值.应力法与位移法比较:利用刚度法求应力时,应力场比位移场的精度低(因应力是位移对坐标的偏导数).三、间接法求应力强度因子(应变能释放率法)K G E ='ⅠⅠ利用有限元法确定G Ⅰ⇒K Ⅰ. 四、J 积分法K KΓ:围绕裂纹尖端的闭合曲线.T :积分边界上的力.u :边界上的位移.J 积分为:[]uJ Wdy T ds xΓ∂=-⋅∂⎰ 其中12iy iy W σε=为应变能密度.线弹性问题:K J G E =='ⅠⅠ. 利用有限样方法计算回路积分⇒K Ⅰ.TτΓ§2-6 叠加原理及其应用一、K Ⅰ的叠加原理及其应用 1. K Ⅰ的叠加线弹性叠加原理:当n 个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和.叠加原理适用于K Ⅰ 证明:00|y r K θ=→=Ⅰ设在1T 载荷作用下,有:(1)(1)(1)000,||y y r K θθσ==→=Ⅰ设在2T 载荷作用下,有: (2)(2)(2)000,||y y r K θθσ==→=Ⅰ由叠加原理有:(1)(2)000|||y y y θθθσσσ===+=(1)(2)K K K ⇒=+ⅠⅠⅠ →满足叠加原理计算复杂载荷下应力强度因子的方法:将复杂载荷分解成简单载荷,简单载荷可查K Ⅰ手册.2.实例:铆钉孔边双耳裂纹的K Ⅰ值叠加原理:()()()()()()()1()2a b c d a b c K K K K K K K =+-⇒=+ⅠⅠⅠⅠⅠⅠⅠ其中: ()()2b aK D σ=+Ⅰ D 为圆孔直径,可查应力强度因子手册.板有宽度:()a F W =板宽的修正.--()a()b()c ()d这里:2f Da a =+ 即有效裂纹长度. ()()2b a K D ⇒=Ⅰ确定()c K Ⅰ:无限板宽中心贯穿裂纹受集中力p 作用.K =Ⅰa 为有效裂纹长度 1(2)2f a D a =+⇒K =Ⅰ有限板宽: ()a F W =()c K ⇒==Ⅰ()()2a a K D ⇒=+Ⅰ 二、应力场叠加原理及其应用1.应力场叠加原理0T :无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场.叠加原理: ()()()()a b c c K K K K =+=ⅠⅠⅠⅠ⇒应力场叠加原理:在复杂的外界约束作用下,裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束,但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹出产生的内应=+()a ()b()c力0T 所致的应力强度因子. 如图2.实例:旋转叶轮(或轴)内孔端裂纹的K Ⅰ以等角速度ω运转的叶轮,在内孔面有一长为2a 的贯穿裂纹,求裂纹前段的应力强度因子.(1)求解无裂纹时,旋转体在无裂纹部位的内应力. 有弹性力学有：22222112222223(1)8r R R r f R R r R μσω'+=+--2222211222222313(1)83R R r f R R r R θμμσωμ''++=++-⋅'+其中：f 为叶轮密度,ω为角速度,1R 为叶轮内径,2R 为叶轮外径,r 为计算点的位置,μ为泊松比.μμ'= (平面应力) 1μμμ'=-(平面应变)0uab一般情况下:12111050R R = ⇒ 212()1R Ra 比较小:22()1r R .22210223(1)8R T f R rθμσω'+⇒==+(2)根据类比原则:比较()d 与()b :内孔半径一致,裂纹大小及组态一样,裂纹面上下受力一致,外边界无约束,唯一不同的是一个是有限体,一个是无限体,由于边界是自由的()d K K ⇒=ⅠⅠ(b)(3).根据叠加原理带中心孔的无限大板,受双向拉应力220238f R μσω'+=时,孔边附近的应力(注意无裂纹时),由弹性力学知:()c()d21002(1)R T rσ=+()d K K ⇒=ⅠⅠ(c)()1()c a K K R σ⇒==ⅠⅠ(a)§2.7 实际裂纹的近似处理利用断裂力学进行安全评价时,首先确定缺陷的大小,部位和形状,偏于安全考虑:夹杂、空洞、气孔、夹杂性裂纹⇒裂纹应针对实际问题进行分析.一、缺陷群的相互作用1.垂直外应力的并列裂纹并列裂纹的作用使KⅠ下降⇒工程上偏安全考虑(1)并列裂纹作为单个裂纹考虑;(2)对于密集的缺陷群,假定它们在空间规则排列,并可把空间裂纹简化成平面裂纹.2.与外应力垂直的面内共线裂纹如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上,可做为单个裂纹处理,否则必须考虑修正:WM.二、裂纹形状的影响通过探伤手段⇒缺陷的”当量尺寸”及其部位,而缺陷的具体形状及实际尺寸难以确定⇒裂纹形状的影响.1.探伤结果是面积当缺陷的面积相同时,12ac=的椭圆裂纹KⅠ最大⇒以12ac=的椭圆裂纹分析是偏于安全的.2.探伤的结果是最大线尺寸(1)当最大直径相同时,圆裂纹的KⅠ比椭圆裂纹大⇒以圆裂纹估算偏于安全.(2)当缺陷长度一样时,贯穿裂纹KⅠ比其它裂纹的KⅠ大⇒以贯穿裂纹估算偏于安全.§2.8 塑性区及其修正小范围屈服:屈服区较小时(远远小于裂纹尺寸).⇒线弹性断裂力学仍可用. 一、塑性区的形状和大小 1.屈服条件的一般形式屈服条件:材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件. a.简单情况:单向拉压:12σσ= 薄壁圆筒扭转:s ττ=. b.复杂情况:(,,,,,)x y z xy xz yz f c σσστττ= 用主应力表示123(,,)f c σσσ=有：最大正应力条件，最大切应力条件，von.Mises 屈服条件(变形能条件),Tresca 屈服(切应力条件).2.根据屈服条件确定塑性区形状大小a.利用米塞斯(von.mises)屈服条件.当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度,材料屈服,即:2222122331()()()2s σσσσσσσ-+-+-=对于Ⅰ型裂纹的应力公式:122x yσσσσ+⎧=⎨⎩12[1sin ]22σθθσ⎧⇒=±⎨⎩30σ=(平面应力,薄板或厚板表面) 2222cos [13sin ]222s K r θθπσ⇒=±Ⅰ --平面应力下,Ⅰ型裂纹前端屈服区域的边界方程.当0θ=时,201()2sK r πσ=Ⅰ 平面应变(厚板中心)312()z σσμσσ==+22222cos [(12)3sin ]222s K r θθμπσ*⇒=-+Ⅰ --平面应变下, Ⅰ型裂纹前端屈服区的边界方程.当0θ=时, 210.16()(0.3)2sK r μπσ*==Ⅰ 221(12)()2sK μπσ=-Ⅰb.利用Tresca(屈雷斯加)屈服条件.在复杂受力下,当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力,材料即屈服.比较发现:平面应变塑性区尺寸小,平面应变处于三向拉伸状态不易屈服. 平面应变的有效屈服应力ys σ比s σ高, 塑性区中的最大应力1ys σσ=平面应变13ys s σσσ== 考虑实际情况3ys σ= 平面应力1ys s σσσ==3．应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛(应力松弛:应变量不变,应力随时间降低)应力松弛→塑性区尺寸增大,依据:单位厚含裂纹平板,在外力作用下发生局部屈服后,其净截面的内力应当与外界平衡.虚线表示发生塑性变形前,0θ=的平面内法向应力y σ的分布规律.0|y θσ==(图中虚线所示)此曲线下的面积为1()y F x dx σ=⎰=外力应力松弛后:2y F dx σ*=⎰=外力屈服区内的最大应力称为有效屈服应力ys σ,()()s ys sσσ=⎪⎩平面应变平面应力ys r 为0|y ys θσσ==时的r 值,21()2ys ysK r πσ=Ⅰ ⇒()y y x dx dx σσ*=⎰⎰又BD 与CE 下的面积应相等.⇒FB 下的面积与ABC 下的面积相等.即:()ys ysr r ys y x dx σσ==⎰⎰又201()2ys ysK r r πσ==Ⅰ(平面应力) ys s σσ= 221()2()8ssK K R r ππσσ⇒==ⅠⅠ ⇒在平面应力条件下,考虑应力松弛,x 轴的屈服区扩大1倍. 平面应变条件下:ys s σ=可得2()ys sK r σ*=Ⅰ 2)sK R σ*⇒=Ⅰ 注意:上述分析没有考虑材料强化。