抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： D
1、选择基本静定梁。
2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B
F
而
C l/2
B lBD
（1）
B BF BF
BF
N
FN
A B
F
C
Fx2 5Fl3 (3l x) () 6 EI 48EI l x
杆件内力引起的弹性变形
例6-5： 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2 杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜 =2000mm2。求当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的 应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6 /℃；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6 /℃ ； 列静力平衡方程 F
(-)
3 ql 8
L
1 2 ql 8
M 图
Fs max ql
1 2 M max ql 2
9 2 ql 128
例6-8:
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已 知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa. 试校核该梁的强度.
作业：6-1，6-4，6-11
§6－4.简单超静定梁
用变形比较法求解超静定梁的步骤：
1、确定超静定次数。 2、选择基本静定梁。 静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。
简单的超静定问题
2013年7月12日星期五
第六章
简单的超静定问题
q
A
B
§6－1.超静定问题及其解法
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅 由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 为静定问题,相应的结构称为静定结构.
l
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知 力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定 结构. 所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特 定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束. 未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
B
B 2
D
C
MC
3 qL 5F 8.75kN FB 8 2 48 FA qL FB 71.25kN
2m
2m
FC F FB 48.75kN
qL2 MA FB L 125kNm 2 L M C F FB L 115kNm 2
B1 B 2
qL4 FB L3 B1 8EI Z 3EI Z 3 2 L L F F FB L3 2 2 L B 2 3EI Z 3EI Z 2 EI Z 2
2m
2m
A
MA
B1
4m
B
FB FB 40kN
FC
CF
N
FN x 2 25Fl 3 1 (3l x) ( )() 6 EI 96EI 1 24 I l x 2 Al 2
解得：
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三 个方面.
平衡方程为
B D
F 0 : F sin F sin 0 F 0 : F cos F cos F 0
x N1 N2
y
N1
N2
P

静定问题与静定结构：
A
FP
y
未知力（内力或外力）个数
FN1 FN2
4 3
B
FN
a
FN
C
a
FN
D
FN a 3 C 3EI Z
q
A
2a
LBC
3
FN a EA
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
B
FN
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
4
例6-11
:图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的
FB
3 qL 16
FA
M
7.5kNm
max
7.5kNm

4.22kNm 4.22kNm
M
max
WZ

32 M
d
max 3
76.4MPa
例6-9:
20kN m
求图示梁的支反力
40kN
在小变形条件下,B点轴向力较小可 忽略不计,所以为一次超静定.
C
B
D
A
4m
FA
20kN m
FNBD 32.2kN
BD
D
FNCE 38.4kN
A
C 1m E
2m
FNBD 32.2 103 161MPa ADB 200 FNCE 38.4 103 96MPa ACE 400
2m
L
FBD
30 kN / m
B
B
CE
1m
A
C
E
A C F

B
0.5
0.5
§6－3.扭转超静定问题
例6-7：
Me
求 : M A, M B
Me
MA MB 0
A
L L L
B
AB 0
M B L M B M e L M B L GI p GI p GI p
MA
Me
Me
MB
0
A
L L L
B
Me M A M B 3
ql 4 8 EI
BF
FByl 3 3EI
B BF Bq
解得:
FByl 3 ql 4 0 8 EI 3EI
q
A l B
3 FBy ql () 8
FBy
5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。 本例： (1)
MA
q
A L B
F
FBy
x
0 0
超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差
例题6－1 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静
定，则为几次超静定？
B
D
E
B
D

A

C
A

C
FP
(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3 (b)超静定。未知力数：5 平衡方程数：3 超静定次数=2
FP
(c)超静定。未知内力数：3 平衡方程数：2 超静定次数=1 FP
2
l/2
l/2
BF
N
l 3 FN ( ) 2 () 3EI
代入（1）：5Fl 3 解得：
FN l FN l 48 EI 24 EI EA
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
CF
Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 C 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
x
=
独立的平衡方程数。
FP
B
D
平衡方程为
F

x
0:
FN1sin FN 2sin 0
A
FP FN3
y
F
y
0:
FN1cos FN 2cos FN3 FP 0
未知力个数：3 平衡方程数：2
FN1 FN2
x
未知力个数〉平衡方程数
FP
超静定问题与超静定结构： 未知力个数多于独立的平衡方程数。
38.5MPa
59.6MPa
练习 图示阶梯形钢杆，弹性模量E＝200Gpa，线膨胀
=1210-6/C系数。左段横截面面积A１＝20cm2，右段
横截面面积A2＝10cm2。加载前，杆的右端与右支座间隙
＝0.1mm，当F＝200kN时，试求(1)温度不变，（2）温
度升高30 C两种情况下杆的支反力。
例6-10: 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC
的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
D
a
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结 构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD 梁上。为1次超静定。
q
A
2a
B C LBC
q2a FN 2a B 8 EI Z 3EI Z
2.1F2 8应力
F1 38.52kN
F2 119.26kN
F1 38.52103 N F2 119.26103 N 1 2 2 A1 A2 1000m m 2000mm2
§6－2. 拉压超静定问题
例6-2： 一铰接结构如图示,在水平
刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2 的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁 AB的自重不计,求两杆中的内力.
1
A
C
B
L1
2
M
A
0
FN1a FN 2 2a F 2a 0
变形协调方程
a
A
FN 1
C
a
L1
q
A
L2
FA
FC
C
列静力平衡方程
B
L2
FB