一、单项选择题(每题2分，共20分)1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B PA ⋃==则()P B = ( AA. 0.5B. 0.3C. 0.75D. 0.422、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D )A. 101pp ⎛⎫⎪-⎝⎭(p为任意实数) B. 123450.10.30.30.20.2x x x x x ⎛⎫⎪⎝⎭C.33()(1,2,...)!ne P X n n n -=== D.33()(0,1,2,...)!ne P X n n n -===3．下列命题不正确的是( D )(A)设X 的密度为)(x f ，则一定有⎰+∞∞-=1)(dx x f ；(B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()()E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是( B )(A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+；5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则( B )(A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=(C)(0)0.25P X Y +≥= (D)(max(,)0)0.25P X Y ≥=7. 设随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，其分布函数为()F x ，则对任意实数x，有( B ) (A)()()1F x F x +-= (B)1)2()2(=-++x F x F(C)1)2()2(=-++x F x F (D)1)2()2(=-+-x F x F8．设(,)X Y 的联合分布律如下，且已知随机事件(0X =)与(1X Y +=)相互独立， 则ba ,的值为( A )(A) 1.0,4.0==b a ,(B) 3.0,2.0==b a ,(C) 4.0,1.0==b a ,(D) 2.0,3.0==b a 9.设袋中有编号为1，2，…，n 的n 张卡片，采用有放回地随机抽取k ()n k ≤张卡片， 记X表示k张卡片的号码之和，则()E X 为( A )(A) (+1)2k n (B)(+1)2n (C) (+1)2n k (D) (-1)2n k 10.设X~12)-1)(X -E(X )(=且λπ，则λ=( C )(A)3； (B)4 ； (C)1； (D)2； 二、填充题(每格2分，共32分)1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。

2、A 、B 互斥且A=B ，则P(A)= 0 。

3、设A 、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A ∣B )=0.6，则P(A ∪B)= 0.88 。

4、设X 、Y 相互独立，X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,41)(41x e x f x，则(253)E XY -+= -14 ，(234)D X Y -+= 147 。

5、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为 0.8756、已知()3E X =，()D X =2，由切比雪夫不等式估计概率(34)P X -≥≤0.125 。

7、设(100,0.2)X B ，则概率(P 20-X )4≤≈ 0.68 ()84.0)1(=Φ。

8.设X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=1,111,0)(2x x x x F ，则=)(X E 29.已知随机变量X~),(2σμN ，且)1()5(,5.0)2(-Φ=≥=≥X P X P ，则=μ 2，=2σ 9 。

10．设YX 与相互独立，X ～),(2σμN ，Y 在[]4,0上服从均匀分布，则Y X 与的联合概率密度为(,)f x y=22()2,,040,x x y μσ--⎧-∞<<+∞≤≤⎩其它11．把9本书任意地放在书架上，其中指定3本书放在一起的概率为 112 12. 已知()0.6P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值为 0.6 ，最小值为 0.4 。

13.已知()0.5,()0.6,()0.2P A P B P A B ===，则()P AB ＝ 0.3 。

(4分)一袋中有4个白球，4个红球，2个黑球，现作有放回抽取3次，每次从中取一个，求下列事件的概率。

(1)第三次才取到白球 (2)3个颜色不全相同解:设Ａ为“第三次才取到白球”的事件；Ｂ为“3个颜色不全相同”的事件 (1) 664()0.144101010P A =⋅⋅=(2)333()1(0.40.40.2)0.864P B =-++=四、(6分)设随机变量X 的概率密度为0.2,01()0.4,460,x f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它又知()0.8P X k ≥=，求(１)k 的取值范围，(2)X 的分布函数()F x 解：(1) 显然646414(4)0.40.8,(1)00.40.8P X dx P X dx dx ≥==≥=+=⎰⎰⎰故满足()0.8P X k ≥=的k 的取值范围是[]1,4(2) X 的分布函数()F x ＝0,00.2,010.2,140.4 1.4,461,6x x x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨⎪-≤<⎪≥⎪⎩五、(9分)设连续型随机变量X 的分布函数为,1()ln ,1,a x F x bx x cx d x e d x e<⎧⎪=++≤≤⎨⎪>⎩求(1)常数,,,a b c d ；(2)密度函数()f x ；(３)()E X解： (1) 由()0()1(10)(10),(0)(0)0,1,1,1F a F d c d F F a d F e F e be ce d a b c d -∞==+∞==+=+=-==+=-=++===-=解得(2) X 的密度函数ln ,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它(3)22111()()ln ln 24eexe E X xf x dx x xdx xd+∞∞+===⎰⎰⎰-=六、(13分) 设离散型随机变量X 具有分布律X 1- 0 1 2k p 0.25 2a a a 8.02+ 0.15(1) 求常数a ；(2)求X 的分布函数)(x F ；(3)计算)23(≤X P ；(4) 求26X Y -=的分布律；(5)计算()D X .解：(1) 由分布律的性质2220.2520.80.15 2.80.412.80.600.2,3(k kp a a a a a a a a a =++++=++=∴+-=∴==-∑舍去）(2) X 的分布函数010.25,10()0.65,010.85,121,2x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，(3)33()()0.8522P X F ≤==(4) 26XY -=的分布律为Y2 5 6kp 0.15 0.45 0.4(5)222()0.25,() 1.05,()()[()]0.9875E X E X D X E X E X ===-=七．(10分)设(,)X Y 的联合密度函数(1) 求常数k ； (2)求关于X 及关于Y 的边缘密度函数； (3) X 与Y 是否独立？说明理由。

解：(1) 由联合密度函数的性质12(,)188k f x y dxdy dxdy k +∞+∞-∞-∞===∴=⎰⎰⎰⎰(2) X 的边缘密度函数21728(),018,01()(,)30,0,x X x x x xy dy x f x f x y dy +∞-∞⎧⎧-≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰＝其它其它Y 的边缘密度函数3204,01,01()(,)0,0,Y y y xy dx y f y f x y dx +∞-∞⎧⎧≤≤≤≤⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰＝其它其它(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 不相互独立八．(6分)设X 与Y 相互独立，其中X 的分布律如下，而Y 的概率密度)(y f Y 为XYU =的概率密度)(u g .解：()()(2)(2)(3)(3)0.2()0.8()230.2()0.8()23U Y Y F u P X Y u P X P X Y u X P X P X Y u X u u P Y P Y u uF F =≤==≤=+=≤==≤+≤=+()()110.2().0.8().22330.80.1()()233U Y Y Y Y g u F u u u f f u uf f '==+=+2,01(,)0,kxy x f x y ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩其它。