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2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题
（考试时间120分钟 满分200分）
姜堰市教研室命制
一、 基础知识（30分）
1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者。

2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”这句话的大致意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 。

3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数()f x 都可以化成sin()a x θ+或者cos()a x θ+的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。

4、《江苏省2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理 这五个能力。

5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、 掌握 三个层次（分别对应A 、B 、C ）
6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出的三维目标是指：知识与技能、过程与方法、 情感态度与价值观 。

二、 解题能力（90分）
1、函数3213()2132
f x x x x =-+-的单调增区间为 （-。

，1），(2, +。

) 。

2、设复数()2
()2z a a ai a R =-+∈为纯虚数,则a = 1 ． 3、已知y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥12430y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是____[3, 9]___________．
4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)的汽车大约有 360 辆．
5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 5 ．
6、已知P 和Q 分别是函数1ln 2
y x =和函数2x y e =上关于直线y x =对称的两点，则线段PQ 长度的最小值为
7、(本题满分15分)
试证明定理：
在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

0.04 0.02
0.01 0 40 50 60 70 80 时速 频率 组距 开始 1,2a b ←← c a b ←+ a b ← b c ← 5b < 输出c 结束 否 是 第4图
第5图
8、(本题满分15分)
△ABC 中，BC=10，AB=c ，AC=b ，∠ABC=θ，()tan ,1m B =，()1tan ,1tan n C C =-+ 且m n ⊥
（Ⅰ）求角A ；
（Ⅱ）①试用θ（不含b ，c ）表示△ABC 的面积()f θ；
②试用b ，c （不含θ）表示△ABC 的面积(),g b c ；
（Ⅲ）求△ABC 面积的最大值．
9、(本题满分15分)
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f (x )=1-ax 2 (a >0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线切于点P ，设(,())P t f t （Ⅰ）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （Ⅱ）若在12t =
处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值．
O x
y M N P
10、(本题满分15分) 将曲线x
y C 1:=
绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，分别运用中学选修4-2矩阵变换、选修4-4坐标系与参数方程的知识，求曲线C '的方程。

三、 教学设计 （80分） 将曲线x
y C 1:=
绕原点逆时针旋转 45得曲线'C ，求曲线C '的方程。

1、 评析上题并作拓展（至少阐述三点）（15分）
2、 评讲上题时需运用高中数学新课程改革的哪些基本理念？（至少阐述三点）（15分）
3、 针对上题设计一节（或片段）习题讲评课的教学设计（不等少于500字）（50分）
2010年姜堰市高中数学青年教师基本功大赛（笔试）试题参考答案
一、 基础知识（30分）
1、笛卡尔
2、祖暅 、两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个几何体的体积相等
3、叠加
4、数据处理
5、掌握
6、情感、态度和价值观
二、 解题能力（90分）
1、(,1),(2,)-∞+∞
2、1
3、[3，9]
4、360
5、5
6、
)2ln 1(22+
7、已知：（略）
求证：（略）（5分）
证明：（略）（详见必修2 P 25 ）（10分）
8、（Ⅰ）4π
=A （5分） （Ⅱ）θπ
θθsin )4sin(250)(+=f ，bc c b g 4
2),(=（5分） （Ⅲ）)12(25max +=S （5分）
9、（1）2y ax '=-，切线的斜率为2at -，∴切线l 的方程为2
(1)2()y at at x t --=-- 令0,y =得2222
1121222at at at at x t at at at
--++=+== 2
1(,0)2at M at
+∴,令0t =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+
MON ∴∆的面积222
211(1)()(1)224at at S t at at at
++=⋅+= （7分） (2) 2422222
321(1)(31)()44a t at at at S t at at +-+-'== 0,0a t >>,由()0S t '=,得21310,3at t a -==
得 当21310,3at t a
->>即时, ()0S t '> 当2
1310,03at t a -<<<即时, ()0S t '< 1,()3t S t a
∴=当时有最小值 已知在12t =
处, ()S t 取得最小值,故有114,233a a =∴= 故当41,32a t ==时,2min 41(1)1234()()4123432
S t S +⋅===⋅⋅ （8分）
10、 法一、根据矩阵知识，旋转变换⎥⎦
⎤⎢⎣⎡︒︒︒-︒=45cos 45sin 45sin 45cos M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x M y x y x 22222222， 代入x
y 1=可得222='-'x y 2:22=-'∴x y C （8分）
法二：根据极坐标知识
⎩⎨⎧︒
+='='45θθρρ，2:22=-'∴x y C （7分）
三、 教学设计（80分）
1、①该题源于4-2矩阵与变换，只要记住旋转矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-ααααcos sin sin cos ②该题本质：找出变换前后新、旧坐标关系，因而既可以用直角坐标(,)x y ，也可以用极坐标(,)ρθ
③一题多解、提高解题能力
④反思结论222=-x y 是双曲线标准方程，说明x y 1=
确实是双曲线 ⑤变式：（i ）求双曲线x y 1=
的焦点坐标。

（先求222y x -=的焦点坐标，再顺时针旋转45可得）
（ii ）能否用其他方法证明x
y 1=是双曲线。

（双曲线定义） （注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
2、（i ）提供多样课程、适应个性选择
（ii ）强调本质，注意适度形式化
（iii ）注意提高学生的思维能力
（iv ）倡导积极主动、勇于探索的学习方式
（v ）与时俱进地认识“双基”
（注：每个结论5分，其它答案酌情给分，但不超过15分）
3、教学设计评分见附件二 （50分）。