第四章 n维列向量空间
§ 4.4 向量空间
2. 设V是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数 乘封闭(closed), 即 , V, kR, 有+V, kV,
closure conditions
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.

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§ 4.4 向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr . {k1, k2, …, kr}T —— 在1, 2, …, r 这组
1, 2, …, s——生成元(generator).

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二. 向量空间的基(basis)与维数(dimension) 1, 2, …, r ——V的一组基:
① 1, 2, …, r线性无关, ② V都能由1, 2, …, r线性表示. r称为V的维数. 记为维(V)或dim(V). n维基本单位向量组就是Rn的一组基, dim{Rn} = n; 零空间没有基, 规定dim{0} = 0. 例2. 求例1中的各向量空间的基与维数.
Rn和{0}称为Rn的平凡(trivial)子空间.

第四章 n维列向量空间来自§ 4.4 向量空间例1. 检验下列集合是否构成向量空间. (1) V = {(x, y, 0) | x, y R};
(2) V = {(x, y, z) | x, y, z R, x+yz = 0};
(3) ARmn, bRm, b0, KA = {Rn | A = 0}; SB = {Rn | A = b}.
基下的坐标(coordinate).

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§ 4.4 向量空间
四. 基变换与坐标变换 设1, 2, …, r和1, 2, …, r是V 的两组基,
则存在rr矩阵P使
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P. 称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过 渡矩阵(transition matrix).

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§ 4.4 向量空间
定理2.7. 1, 2, …, s的极大无关组是 L(1, 2, …, s)的基 dimL(1, …, s) = r(1, …, s). 特别地, A = (A1, A2, …, As),
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space)
1 2 1 1 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 , 1 0 1 1 求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.

dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
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1 2 1 1 1 2 1 1 初等 解 : 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 行变换 0 0 0 0 可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.

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§ 4.4 向量空间
(4) 1, 2, …, sRn, L(1, 2, …, s) = { kii | 诸kiR}.
i=1
s
——由1, 2, …, s生成的向量空间 (generated/spanned by 1, …)或
{1, 2, …, s}的线性包(linear closure).
由r = r(1, 2, …, r) r(P) r可得r(P) = r.
故|P| 0, 即P可逆.